離散數學包含及排斥原理

第三章 集合與關系 * 一、有限集的計數 一個集合若其組成集合的元素個數是有限的，則稱作有限集。 設A1、A2為素個數分別記為|A1|，|A2| P96有限集記數有如下幾個性質： a)|A1∪A2| ≤ |A1|+|A2| b)|A1∩A2| ≤min( |A1|,|A2|) c)|A1―A2 | ≥ |A1|― |A2| d)| A1⊕A2| = |A1|+|A2|―2 | A1∩ A2| 以上公式可以通過文氏圖直接得到說明 * 二、容斥原理 定理3-3.1 設A1，A2為有限集合，其元素個數分別為|A1|，|A2|，則|A1∪A2| =A2| ―| A1∩ A2| A2 A1 E A1∩ A2 * 二、容斥原理 定理 設A1，A2，A3為有限集合，其元素個數分別為|A1|，|A2|， |A3|則有|A1∪A2 ∪A3 | = |A1|+|A2| A2| ―| A1∩ A3| ―| A2∩ A3| + | A1∩ A2 ∩ A3 | * /dx /dx/150517/4624821.html /dx/150517/4624815.html /dx/150517/4624813.html /dx/150517/4624812.html /dx/150517/4624811.html /dx/150517/4624810.html /dx/150517/4624802.html /dx/150517/4624801.html /dx/150517/4624800.html /dx/150513/4623075.html /dx/150510/4621518.html /dx/150510/4621517.html /dx/150510/4621500.html /dx/150522/4628487.html /dx/150516/4624630.html /dx/150516/4624620.html /dx/150610/4637565.html /dx/150611/4638148.html /dx/150611/4638150.html /dx/150611/4638151.html 二、容斥原理 A1 A2 A3 A1∩ A2 A1∩ A3 A2 ∩ A3 A1∩ A2∩ A3 * 二、容斥原理 例 一個學校只有三門課程：數學、物理、化學。已知修這三門課的學生分別有170、130、120人；同時修數學、物理兩門課的學生45人； 同時修數學、化學的20人； 同時修物理化學的22人。 同時修三門的3人。 問這學校共有多少學生？ * 二、容斥原理 例 一個學校只有三門課程：數學、物理、化學。已知修這三門課的學生分別有170、130、120人；同時修數學、物理兩門課的學生45人； 同時修數學、化學的20人； 同時修物理化學的22人。 同時修三門的3人。問這學校共有多少學生？ 解：令 M為修數學的學生集合；P 為修物理的學生集合； C 為修化學的學生集合；則： 書例 P96 例題1、2 * 二、容斥原理 定理 設A1，A2 ，A3 ，A4為有限集合，其元素個數分別為|A1|，|A2| ，|A3| ，|A4| ，則|A1∪A2 ∪A3 ∪A4 | = |A1|+|A2| +|A3| +|A4| ―| A1∩ A2| ―| A1∩ A3| ―| A1∩ A4| ―| A2∩ A3| ―| A2∩ A4| ―| A3∩ A4| +| A1∩ A2 ∩ A3 | +| A2∩ A3∩ A4 | +| A1∩ A3∩ A4 | +| A1∩ A2 ∩ A4 | ―| A1∩ A3 ∩ A2∩ A4| * 二、容斥原理 P97 定理3-3. (推廣到n個有限集情況)設A1,A2 , … , An為有限集合，其元素個數分別為|A1|，|A2| , … ,|An| ，則|A1∪A2 …An | = ∑|Ai|―∑| Ai∩ Aj|+ ∑ | Ai∩ Aj ∩ Ak | + … +(-1)n-1 | A1∩ A2 ∩ …∩ An| 證明：P98 * 練習 例 求從1到500的整數中能被3或5除盡的數的個數。 * 練習 例 求從1到500的整數中能被3或5除盡的數的個數。 解：令A為從1到500的整數中被3除盡的數的集合，B為被5除盡的數的集合 被3或5除盡的數的個數為 * 練習 P99 書例3 例 求不

總結

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