轉自：

坐標系的變換矩陣推導

1.平移變換

??假設存在點(x,y,z)，將x移動a，y移動b，z移動c，到新的點(x′,y′,z′)，則：

??中間4x4的矩陣叫變換矩陣。可見，如果要平移坐標，要將坐標維度增加1，變成齊次坐標（齊次坐標（homogeneous coordinates）就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示，常用于投影幾何）。

??在計算機圖形學中，為了實現平移、旋轉、縮放等圖像操作，需要用到齊次坐標。

例1：世界坐標系word相對相機坐標系cam的x、y、z分別平移了10，20，30，求次變換齊次矩陣。

三個分量矩陣位置可以交換，因為是獨立變量，互不影響。
所以，平移齊次矩陣為：

?

旋轉變換有兩種，一種是向量在當前坐標系內的旋轉，一種是坐標系的旋轉。

2. 坐標系旋轉變換：由固定坐標系旋轉到另一個坐標系。

??旋轉變換有兩種，一種是向量在當前坐標系內的旋轉，一種是坐標系的旋轉。這里推導坐標系旋轉矩陣。

（1） 繞X軸旋轉（逆時針）：

?

方程為：

?

（2） 繞Y軸旋轉（逆時針）β ：

方程為：

?

（3）繞Z軸旋轉（逆時針）γ：

方程為：

?

所以，坐標軸分別依次繞x，y，z軸旋轉α \alphaα,β \betaβ,γ \gammaγ的變換矩陣（前后用左乘來連接）：

總結

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