轉(zhuǎn)自：CT解析重建 - 知乎

1、傅里葉變換（Fourier Transform）

白光可以分解成彩色光，彩色光也可合成白光；同樣的通過傅里葉變換可將時域下的信號轉(zhuǎn)變成傅里葉域的信號，通過傅里葉逆變換可轉(zhuǎn)換回來。此外，很多問題在傅里葉域討論會有一片新的天地。

上面一行的圖是傅里葉域表示，中心是低頻部分越往外表示頻率越高，大部分能量都聚集在低頻部分，(b)表示將低頻部分置0，相當(dāng)于高通濾波，保留圖像的邊緣等像素變化大的部分；(c)表示只保留低頻成分，低通濾波，圖像模糊。

傅里葉變換舉例：

2、中心切片定理

簡單來說就是?

證明過程：

3、一些重建方法

• 方法1：FBP

（1）求投影數(shù)據(jù) p(s, θ) 的以 s 為變量的一維傅里葉變換，得到P(ω,θ ) 。

（2）對 P(ω,θ ) 乘以斜坡濾波器的傳遞函數(shù) |ω|，得到 Q(ω, θ)。

（3）求 Q(ω, θ) 的以ω 為變量的一維傅里葉反變換，得到 q(s, θ)。

（4）反投影得到重建圖像f(x,y)。

• 方法2：根據(jù)傅里葉變換理論，在 ω 域中做乘法等價于在 s 域中做卷積

（1）q(s,θ ) = p(s,θ ) ? h(s)；h(s) 是卷積積分中的卷積核，是H(ω)=|ω|的一維傅里葉反變換

（2）反投影得到重建圖像f(x,y)。

• 方法3：

傅里葉變換的兩個性質(zhì):

性質(zhì) 1：在傅里葉域 (即ω 域) 中乘以 i2πω 相當(dāng)于在空間域 (即 s 域) 中求導(dǎo)數(shù)。

性質(zhì) 2：函數(shù) -i sgn(ω) 的傅里葉反變換是 1/(πs)。與 1/(πs) 做卷積叫做希爾伯特變換。

?然后再反投影。

• 方法4：改變斜坡濾波和反投影的次序，先反投影后濾波。

（1）對 反 投 影 得 到 的 圖 像 b(x, y) 求 二 維傅里葉變換，得到B(ω x ,ω y ) 。

（2）對 B(ω x ,ω y ) 乘以斜坡濾波器的傳遞函數(shù) |ω|= ωx2 + ω y2 ，得到F(ω x ,ω y ) 。

（3）對 F(ω x ,ω y ) 求二維傅里葉反變換，得到 f (x, y) 。

• 方法5：求導(dǎo)，希爾伯特變換，和反投影可換序

（1）對投影數(shù)據(jù) p(s,θ ) 以變量s求導(dǎo)(實際上是求偏導(dǎo))，得到dp(s,θ ) / ds 。

（2）對 dp(s,θ ) / ds 做 180° 的反投影。

（3）對反投影得到的圖像逐行的做(一維的)希爾伯特變換。其方向是與探測器在 90o 角的位置相平行。

希爾伯特變換可以在空間域中做卷積來實現(xiàn)，也可以在傅里葉域中做乘法來實現(xiàn)。除此以外，希爾伯特變換還可以在空間域中做積分來實現(xiàn)，這個積分并非卷積，而是在有限區(qū)間上的積分。這個有限積分的希爾伯特變換在處理不完整的(即截斷的)投影數(shù)據(jù)時有著重要的應(yīng)用。

4、卷積核

參考：毛小淵. 二維CT圖像重建算法研究[D].南昌航空大學(xué),2016.

上面介紹的濾波器H(w)=|w|是一個頻帶無限地濾波器，無法實現(xiàn)，所以考慮其替代。在實踐濾波過程中，可以把一個信號的絕大部分用有用頻率予以保留，丟棄無關(guān)緊要的頻率，在實際的卷積過程中，投影數(shù)據(jù)的傅立葉變換是有限帶寬的。也就是說在頻率間隔(B,B)以外的能量0。可得：??根據(jù)奈奎斯特采樣定理，為了保證無混疊的采樣，采樣間隔必須不大于最高截止頻率 2 倍的倒數(shù)，也就是：??。

（1）R-L濾波器：

R-L 濾波器的頻域波形如圖所示，其中截止頻率 d=1。它在頻域中的圖像類似于斜坡，故也稱為斜坡濾波器。R-L 濾波器形式簡單實用，用它重建圖像，輪廓清楚。缺點是有 Gibbs 現(xiàn)象，表現(xiàn)為明顯的振蕩響應(yīng)。

（2）S-L濾波器：

（3）Cosine濾波器：

窗函數(shù)：?

（4）Hanning 濾波器與 Hamming 濾波器

廣義Hanning窗口：?

α為參數(shù)，[0.5,1),當(dāng)α=0.54時，為 Hamming 窗函數(shù)：

5、扇束

6、錐束

總結(jié)

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