?求單源最短路的SPFA算法的全稱是：Shortest Path Faster Algorithm。?
????SPFA算法是西南交通大學段凡丁于1994年發表的。
????從名字我們就可以看出，這種算法在效率上一定有過人之處。?
????很多時候，給定的圖存在負權邊，這時類似Dijkstra等算法便沒有了用武之地，而Bellman-Ford算法的復雜度又過高，SPFA算法便派上用場了。有人稱spfa算法是最短路的萬能算法。

????簡潔起見，我們約定有向加權圖G不存在負權回路，即最短路徑一定存在。當然，我們可以在執行該算法前做一次拓撲排序，以判斷是否存在負權回路。
????我們用數組dis記錄每個結點的最短路徑估計值，可以用鄰接矩陣或鄰接表來存儲圖G，推薦使用鄰接表。

spfa的算法思想（動態逼近法）：
????設立一個先進先出的隊列q用來保存待優化的結點，優化時每次取出隊首結點u，并且用u點當前的最短路徑估計值對離開u點所指向的結點v進行松弛操作，如果v點的最短路徑估計值有所調整，且v點不在當前的隊列中，就將v點放入隊尾。這樣不斷從隊列中取出結點來進行松弛操作，直至隊列空為止。?
????松弛操作的原理是著名的定理：“三角形兩邊之和大于第三邊”，在信息學中我們叫它三角不等式。所謂對結點i,j進行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果該式成立則將dis[j]減小到dis[i]+w[i,j]，否則不動。?
????下面舉一個實例來說明SFFA算法是怎樣進行的：

和廣搜bfs的區別：
????SPFA 在形式上和廣度(寬度)優先搜索非常類似，不同的是bfs中一個點出了隊列就不可能重新進入隊列，但是SPFA中一個點可能在出隊列之后再次被放入隊列，也就是一個點改進過其它的點之后，過了一段時間可能本身被改進(重新入隊)，于是再次用來改進其它的點，這樣反復迭代下去。

算法的描述：

void spfa(s); //求單源點s到其它各頂點的最短距離for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; } //初始化每點到s的距離，不在隊列dis[s]=0; //將dis[源點]設為0vis[s]=true; //源點s入隊列head=0; tail=1; q[tail]=s; //源點s入隊, 頭尾指針賦初值while head<tail do {head+1; //隊首出隊v=q[head]; //隊首結點vvis[v]=false; //釋放對v的標記，可以重新入隊for 每條邊(v,i) //對于與隊首v相連的每一條邊if (dis[i]>dis[v]+a[v][i]) //如果不滿足三角形性質dis[i] = dis[v] + a[v][i] //松弛dis[i]if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在隊列，則加入隊列}

最短路徑本身怎么輸出？
????在一個圖中，我們僅僅知道結點A到結點E的最短路徑長度，有時候意義不大。這個圖如果是地圖的模型的話，在算出最短路徑長度后，我們總要說明“怎么走”才算真正解決了問題。如何在計算過程中記錄下來最短路徑是怎么走的，并在最后將它輸出呢？
????我們定義一個path[]數組，path[i]表示源點s到i的最短路程中，結點i之前的結點的編號(父結點)，我們在借助結點u對結點v松弛的同時，標記下path[v]=u，記錄的工作就完成了。
????如何輸出呢？我們記錄的是每個點前面的點是什么，輸出卻要從最前面到后面輸出，這很好辦，遞歸就可以了：?

c++ code: void printpath(int k){if (path[k]!=0) printpath(path[k]);cout << k << ' '; }pascal code: procedure printpath(k:longint);beginif path[k]<>0 then printpath(path[k]);write(k,' ');end; spfa算法模板(鄰接矩陣)： c++ code: void spfa(int s){for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999; //初始化每點i到s的距離dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s; 隊列初始化,s為起點int i, v, head=0, tail=1;while (head<tail){ 隊列非空head++; v=q[head]; 取隊首元素vis[v]=0; 釋放隊首結點，因為這節點可能下次用來松弛其它節點，重新入隊for(i=0; i<=n; i++) 對所有頂點if (a[v][i]>0 && dis[i]>dis[v]+a[v][i]){ dis[i] = dis[v]+a[v][i]; 修改最短路if (vis[i]==0){ 如果擴展結點i不在隊列中，入隊tail++;q[tail]=i;vis[i]=1;}}} }pascal code: procedure spfa(s:longint);var i,j,v,head,tail:longint;beginfor i:=0 to n do dis[i]:=99999999;dis[s]:=0; vis[s]:=true; q[1]:=s;head:=0;tail:= 1;while head<tail dobegininc(head);v:=q[head];vis[v]:=false;for i:=0 to n doif dis[i]>dis[v]+a[v,i] thenbegindis[i]:= dis[v]+a[v,i];if not vis[i] thenbegininc(tail);q[tail]:=i;vis[i]:=true;end;end;end;end;

【程序1】暢通工程 (laoj1138)

????????某省自從實行了很多年的暢通工程計劃后，終于修建了很多路。不過路多了也不好，每次要從一個城鎮到另一個城鎮時，都有許多種道路方案可以選擇，而某些方案要比另一些方案行走的距離要短很多。這讓行人很困擾。?
????現在，已知起點和終點，請你計算出要從起點到終點，最短需要行走多少距離。
輸入格式：
????第一行包含兩個正整數N和M(0<N<200,0<M<1000)，分別代表現有城鎮的數目和已修建的道路的數目。城鎮分別以0～N-1編號。
????接下來是M行道路信息。每一行有三個整數A,B,X(0<=A,B<N,A!=B,0<X<10000),表示城鎮A和城鎮B之間有一條長度為X的雙向道路。?
????再接下一行有兩個整數S,T(0<=S,T<N)，分別代表起點和終點。
輸出格式：
????輸出最短需要行走的距離。如果不存在從S到T的路線，就輸出-1。
樣例輸入1：
3 3
0 1 1
0 2 3
1 2 1
0 2
樣例輸入2：
3 1
0 1 1
1 2?
樣例輸出1：
2
樣例輸出2：
-1

【分析】 注意本題可能有結點為0的頂點，我就在這上面wa了很多次。并且有可能兩個城鎮之間有多條道路，我們要保留最小的那條。
?

pascal code(鄰接矩陣)： var i,n,m,s,t,x,y,z:longint; s:起點;t:終點a,b:array[0..201,0..201] of longint; b[x,c]存與x相連的第c個邊的另一個結點yq:array[0..10001] of integer; 隊列vis:array[0..201] of boolean; 是否入隊的標記dis:array[0..201] of longint; 到起點的最短路 procedure spfa(s:longint);var i,j,v,head,tail:longint;beginfillchar(q,sizeof(q),0);fillchar(vis,sizeof(vis),false);for i:=0 to n do dis[i]:=99999999;dis[s]:=0; vis[s]:=true; q[1]:=s; 隊列的初始狀態,s為起點head:=0;tail:= 1;while head<tail do 隊列不空begininc(head);v:=q[head]; 取隊首元素vis[v] := false; 釋放結點，一定要釋放掉，因為這節點有可能下次用來松弛其它節點for i:=1 to b[v,0] doif dis[b[v,i]]>dis[v]+a[v,b[v,i]] thenbegindis[b[v,i]]:=dis[v]+a[v,b[v,i]]; 修改最短路if not vis[b[v,i]] then 擴展結點入隊begininc(tail);q[tail]:=b[v,i];vis[b[v,i]]:=true;end;end;end;end; beginread(n, m); //n結點數;m邊數fillchar(a,sizeof(a),0);for i:=1 to m dobeginreadln(x,y,z); x,y一條邊的兩個結點;z這條邊的權值if (a[x,y]<>0)and(z>a[x,y]) then continue;如果兩頂點間有多條邊，保留最小的一條inc(b[x,0]);b[x,b[x,0]]:=y;a[x,y]:=z; b[x,0]以x為一個結點的邊的條數inc(b[y,0]);b[y,b[y,0]]:=x;a[y,x]:=z;end;readln(s,t); 讀入起點與終點spfa(s);if dis[t]<>99999999 then writeln(dis[t]) else writeln(-1); end. C++ code(鄰接矩陣)： #include <iostream> using namespace std; int q[10001], dis[201], a[201][201], b[201][201]; bool vis[201]; int n, m, s, t; void spfa(int s){for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999;dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s; 隊列的初始狀態,s為起點int i, v, head=0, tail=1; while (head<tail){ 隊列不空head++;v=q[head]; 取隊首元素vis[v]=0; 釋放結點，一定要釋放掉，因為這節點有可能下次用來松弛其它節點for(i=1; i<=b[v][0]; i++)if (dis[b[v][i]] > dis[v]+a[v][b[v][i]]){dis[b[v][i]] = dis[v]+a[v][b[v][i]]; 修改最短路if (vis[b[v][i]]==0){ 擴展結點入隊tail++;q[tail]=b[v][i];vis[b[v][i]]=1;}}} } int main(){int x, y, z;cin >> n >> m; //n結點數;m邊數for(int i=0; i<m; i++){cin >> x >> y >> z; x,y一條邊的兩個結點;z這條邊的權值if (a[x][y]!=0 && z>a[x][y]) continue;如果兩頂點間有多條邊，保留最小的一條b[x][0]++; b[x][b[x][0]]=y; a[x][y]=z; b[x,0]以x為一個結點的邊的條數b[y][0]++; b[y][b[y][0]]=x; a[y][x]=z;}cin >> s >> t; 讀入起點與終點spfa(s);if (dis[t]!=99999999) cout << dis[t] << endl;else cout << -1 << endl;return 0; }

?

spfa優化——深度優先搜索dfs

???????? 在上面的spfa標準算法中，每次更新（松弛）一個結點u時，如果該結點不在隊列中，那么直接入隊。
????但是有負環時，上述算法的時間復雜度退化為O(nm)。能不能改進呢？
????那我們試著使用深搜，核心思想為每次從更新一個結點u時，從該結點開始遞歸進行下一次迭代。

使用dfs優化spfa算法： pascal code： procedure spfa(s:longint);var i:longint;beginfor i:=1 to b[s,0] do //b[s,0]是從頂點s發出的邊的條數if dis[b[s,i]]>dis[s]+a[s,b[s,i]] then //b[s,i]是從s發出的第i條邊的另一個頂點begindis[b[s,i]]:=dis[s]+a[s,b[s,i]];spfa(b[s,i]);end;end; C++ code： void spfa(int s){for(int i=1; i<=b[s][0]; i++) //b[s,0]是從頂點s發出的邊的條數if (dis[b[s][i]>dis[s]+a[s][b[s][i]]){ //b[s,i]是從s發出的第i條邊的另一個頂點dis[b[s][i]=dis[s]+a[s][b[s][i]];spfa(b[s][i]);} }

???????? 相比隊列，深度優先搜索有著先天優勢：在環上走一圈，回到已遍歷過的結點即有負環。絕大多數情況下的時間復雜度為O(m)級別。
????那我們試著使用深搜，核心思想為每次從更新一個結點u時，從該結點開始遞歸進行下一次迭代。
????對于WorldRings(ACM-ICPC Centrual European 2005)這道題，676個點，100000條邊，查找負環dfs僅僅需219ms。
????一個簡潔的數據結構和算法在一定程度上解決了大問題。

判斷存在負環的條件：重新經過某個在當前搜索棧中的結點。

【程序1】暢通工程 laoj1138 spfa算法(dfs)： pascal code： var i,n,m,s,t,x,y,z:longint;a,b:array[0..201,0..201] of longint;q:array[0..10001] of integer;vis:array[0..201] of boolean;dis:array[0..201] of longint; procedure spfa(s:longint);var i:longint;beginfor i:=1 to b[s,0] doif dis[b[s,i]]>dis[s]+a[s,b[s,i]] thenbegindis[b[s,i]]:=dis[s]+a[s,b[s,i]];spfa(b[s,i]);end;end; beginread(n, m);fillchar(a,sizeof(a),0);for i:=1 to m dobeginreadln(x,y,z);if (a[x,y]<>0)and(z>a[x,y]) then continue;inc(b[x,0]);b[x,b[x,0]]:=y;a[x,y]:=z;inc(b[y,0]);b[y,b[y,0]]:=x;a[y,x]:=z;end;readln(s,t);for i:=0 to n do dis[i]:=99999999;dis[s]:=0;spfa(s);if dis[t]<>99999999 then writeln(dis[t]) else writeln(-1); end. C++ code： #include <iostream> using namespace std; int q[10001], dis[201], a[201][201], b[201][201]; bool vis[201]; int n, m, s, t; void spfa(int s){for(int i=1; i<=b[s][0]; i++)if (dis[b[s][i]] > dis[s]+a[s][b[s][i]]){dis[b[s][i]] = dis[s]+a[s][b[s][i]];spfa(b[s][i]);} } int main(){int x, y, z;cin >> n >> m; for(int i=0; i<m; i++){cin >> x >> y >> z; if (a[x][y]!=0 && z>a[x][y]) continue;b[x][0]++; b[x][b[x][0]]=y; a[x][y]=z; b[y][0]++; b[y][b[y][0]]=x; a[y][x]=z;}cin >> s >> t;for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999;dis[s]=0;spfa(s);if (dis[t]!=99999999) cout << dis[t] << endl;else cout << -1 << endl;return 0; }

spfa優化——前向星優化

???????? 星形（star）表示法的思想與鄰接表表示法的思想有一定的相似之處。對每個結點，它也是記錄從該結點出發的所有弧，但它不是采用單向鏈表而是采用一個單一的數組表示。也就是說，在該數組中首先存放從結點1出發的所有弧，然后接著存放從節點2出發的所有孤，依此類推，最后存放從結點n出發的所有孤。對每條弧，要依次存放其起點、終點、權的數值等有關信息。這實際上相當于對所有弧給出了一個順序和編號，只是從同一結點出發的弧的順序可以任意排列。此外，為了能夠快速檢索從每個節點出發的所有弧，我們一般還用一個數組記錄每個結點出發的弧的起始地址（即弧的編號）。在這種表示法中，可以快速檢索從每個結點出發的所有弧，這種星形表示法稱為前向星形（forward star）表示法。
????例如，在下圖中，仍然假設弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的權分別為8，9，6，4，0，7，6和3。此時該網絡圖可以用前向星形表示法表示如下：

??

?

前向星存儲圖： #include <iostream> using namespace std; int first[10005]; struct edge{int point,next,len; } e[10005]; void add(int i, int u, int v, int w){e[i].point = v;e[i].next = first[u];e[i].len = w;first[u] = i; } int n,m; int main(){int u,v,w;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){cin >> u >> v >> w;add(i,u,v,w);} //這段是讀入和加入for (int i = 0; i <= n; i++){cout << "from " << i << endl;for (int j = first[i]; j; j = e[j].next) //這就是遍歷邊了cout << "to " << e[j].point << " length= " << e[j].len << endl;} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ACM算法--spfa算法--最短路算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。