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本文轉載自：傳送門 知乎作者：三川啦啦啦

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等價無窮小替換，本質上是一個選擇估計值精確度的問題。我下面通過一個非常通俗易懂的例子來說明.
我問
(LARGE frac{pi-3}{0.1}approx ?)
答：約等于1.

什么， (pi = 3.1_{cdots}) 代入上式，
(LARGE frac{pi-3}{0.1}=frac{3.1-3}{0.1}=frac{0.1ldots}{0.1}approx 1)

這個時候，我們只需要用到 π 的估計值 3.1就夠了.
但是，若問
(LARGE frac{pi-3.1}{0.0415}approx ?)

這個時候，如果我們仍然選擇 π 的估計值 3.1代入上式，就會出現災難性后果：
(LARGE frac{0}{0.0415}approx 0)

這個約等于就跟玩一樣，明明約等于 1 才更準確啊！
(LARGE frac{pi-3.1}{0.0415}=1.002232616621519_{cdots})

導致這個后果的原因是什么呢？
你看，如果我使用 π 稍精確一點估計值3.14（而不是3.1），代入結果
(LARGE frac{pi-3.1}{0.041}approxfrac{0.040}{0.041}approx 1)

問題又來了（這是一個關鍵性問題），

為什么在第二種情況，我們選擇了π 更精確的估計值3.14，而沒有選用3.1？

前后兩道例題的區別在哪里？

前后兩個例子的區別在于——對誤差項估計的精確程度要求不同，前一道題對 π 的估計只精確到了十分位（0.1），而后者對 π 的估計精確到了百分位（0.01）.
我們會發現分母是一個對精確度要求的明顯指標——分母數量級越小，對分子的變化越敏感(想想反比例函數在0點的性態)，于是對估值的精度要求變高.

其實等價無窮小的替換，無非也是這種情況，下面僅說明一例.
我們知道
(LARGE ln(1+x) sim x , vert x vert < 1)

是一對很經典的等價無窮小.

學習了 Taylor公式后，我們知道關于 ln(1+x) 更精確的逼近式：
(LARGE ln (1+x) sim x - frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}-ldots)

對于極限
(LARGE limlimits_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = limlimits_{x o 0}frac{x}{x} = 1)

這個時候，用 x 當作 ln(1+x) 的“估計值”，已經夠用了（注意分母），而若求極限
(LARGE limlimits_{x o 0}frac{ln(1+x)-x}{x^{2}} = limlimits_{x o 0}frac{x-frac{x^{2}}{2} - x }{x^{2}} = -frac{1}{2})

這是時候用(frac{x-x^{2}}{2})作為(ln(1+x))的“估計值”，顯然比用 x 顯得更為適宜（注意分母）.

注意到了什么規律了嗎？？？

分母是幾階，泰勒就得展到幾階，這就是所謂的上下同階原理.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于等价无穷小使用条件的问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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