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一、抽屜原理初介紹：

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”。 抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有一個集合里至少有兩個元素。” 抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理。它是組合數(shù)學中一個重要的原理。

二、抽屜原理詳講：

第一抽屜原理：

原理1：
把多于n+1個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件。
證明（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數(shù)至多是n×1，而不是題設的n+k(k≥1)，故不可能。

原理2 ：
把多于mn(m乘n)+1（n不為0）個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于（m+1）的物體。
證明（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能。

原理3 ：
把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里 有無窮個物體。

原理1 、2 、3都是第一抽屜原理的表述。

第二抽屜原理：

把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體(例如，將3×5-1=14個物體放入5個抽屜中，則必定有一個抽屜中的物體數(shù)少于等于3-1=2)。

三、構造抽屜的方法：

運用抽屜原理的核心是分析清楚問題中，哪個是物件，哪個是抽屜。例如，屬相是有12個，那么任意37個人中，至少有幾個人屬相相同呢？這時將屬相看成12個抽屜，則一個抽屜中有 37/12，即3余1，余數(shù)不考慮，而向上考慮取整數(shù)，所以這里是3+1=4個人，但這里需要注意的是，前面的余數(shù)1和這里加上的1是不一樣的。因此，在問題中，較多的一方就是物件，較少的一方就是抽屜，比如上述問題中的屬相12個，就是對應抽屜，37個人就是對應物件，因為37相對12多。

四、抽屜原理的簡單應用：

抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。
1. 說明400人中至少有2個人的生日相同
　　解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個物體，由抽屜原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/366=1…34,1+1=2　又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同
　　
2. 幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理
　　解 ：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長頸鹿），（長頸鹿、長頸鹿）。把每種搭配方式看作一個抽屜，把7個小朋友看作物體，那么根據(jù)原理1，至少有兩個物體要放進同一個抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.

是不是感覺這兩個問題很LOW，其實我覺得也是，并沒有體現(xiàn)抽屜原理的靈魂之美，下面我們就增加一點點難度

制造抽屜是運用原則的一大關鍵
3. 從2、4、6、…、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是34。
分析與解答 ：
我們用題目中的15個偶數(shù)制造8個抽屜：
　　此抽屜特點：凡是抽屜中有兩個數(shù)的，都具有一個共同的特點：這兩個數(shù)的和是34（這個地方各位大佬要看清楚了，是你制造抽屜，也就是說按照你的規(guī)定制造抽屜，很明顯這道題我制造成{2}，{4,30}，{6,28}，{8,26}，{10,24}，{12,22}，{14,20}，{16,18}這8個抽屜）。
　　現(xiàn)從題目中的15個偶數(shù)中任取9個數(shù)，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數(shù)可以在同一個抽屜中（符合上述特點）.由制造的抽屜的特點，這兩個數(shù)的和是34。
　　
4. 從1、2、3、4、…、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是12。
分析與解答：在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：{20，8}，{19，7}，{18，6}，{17，5}，{16，4}，{15，3}，{14，2}，{13，1}。
　　另外還有4個不能配對的數(shù){9}，{10}，{11}，{12}，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到(????ω????)。

5. 從1到20這20個數(shù)中，任取11個數(shù)，必有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。
分析與解答: 根據(jù)題目所要求證的問題，應考慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關系的原則制造抽屜.把這20個數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質）：
{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}，仔細研究一下，如果存在元素個數(shù)大于2的集合，是不是從這些集合中任意取出來兩個都能滿足一個數(shù)是另外一個數(shù)的倍數(shù)？（是的吧），這樣設置抽屜的方法是不是很容易想到呢(????ω????)
　　從這10個數(shù)組的20個數(shù)中任取11個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數(shù)都具有倍數(shù)關系，所以這兩個數(shù)中，其中一個數(shù)一定是另一個數(shù)的倍數(shù)。

我們可以再難一點：
6. 某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。
分析與解答：共有n位校友，每個人握手的次數(shù)最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.然而，如果有一個校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、…、n-1，握手次數(shù)都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數(shù)一樣多。是不是很神奇呢？(?? . ??)

在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經驗。

五、抽屜原理在整除關系中的應用（例題一定要仔細看看哦）：

把所有整數(shù)按照除以某個自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一個類含有無窮多個數(shù)，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究與整除有關的問題時，常用剩余類作為抽屜.根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n+1個自然數(shù)中，總有兩個自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。(證明：n+1個自然數(shù)被n整除余數(shù)至少有兩個相等（抽屜原理），不妨記為m=a1*n+b n=a2*n+b，則m-n整除n)。
1. 證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。
分析與解答 :在與整除有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差a-b是m的倍數(shù).根據(jù)這個性質，本題只需證明這8個自然數(shù)中有2個自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個抽屜.任取8個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個數(shù)在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。

2. 對于任意的五個自然數(shù)，證明其中必有3個數(shù)的和能被3整除.
證明:任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0，1，2，不妨分別構造為3個抽屜：
[0]，[1]，[2]
　　①若這五個自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個抽屜中(即抽屜中分別為含有余數(shù)為0,1,2的數(shù))，我們從這三個抽屜中各取1個(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.
　　②若這5個余數(shù)分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜至少包含有3個余數(shù)（抽屜原理），即一個抽屜包含1個余數(shù)，另一個包含4個，或者一個包含2個余數(shù)另一個抽屜包含3個。從余數(shù)多的那個抽屜里選出三個余數(shù)，其代數(shù)和或為0，或為3，或為6，均為3的倍數(shù)，故所對應的3個自然數(shù)之和是3的倍數(shù).
　　③若這5個余數(shù)分布在其中的一個抽屜中，很顯然，從此抽屜中任意取出三個余數(shù)，同情況②，余數(shù)之和可被3整除，故其對應的3個自然數(shù)之和能被3整除.
　　
3. 對于任意的11個整數(shù)，證明其中一定有6個數(shù)，它們的和能被6整除.
證明：設這11個整數(shù)為：a1，a2，a3……a11 又6=2×3
　　①先考慮被3整除的情形
　　由例2知，在11個任意整數(shù)中，必存在：
　　3|a1+a2+a3，不妨設a1+a2+a3=b1；
　　同理，剩下的8個任意整數(shù)中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.設a4+a5+a6=b2；
　　同理，其余的5個任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設：a7+a8+a9=b3
　　②再考慮b1、b2、b3被2整除.
　　依據(jù)抽屜原理，b1、b2、b3這三個整數(shù)中，至少有兩個是同奇或同偶，這兩個同奇（或同偶）的整數(shù)之和必為偶數(shù).不妨設2|b1+b2
　　則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
　　∴任意11個整數(shù)，其中必有6個數(shù)的和是6的倍數(shù).

4. 任意給定7個不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).
分析：注意到這些數(shù)除以10的余數(shù)即個位數(shù)字，以0，1，…，9為標準制造10個抽屜，標以[0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個自然數(shù)，似不便運用抽屜原則，再作調整：[6]，[7]，[8]，[9]四個抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個抽屜里有兩個數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).
其實抽屜原理的一種更一般的表述為：
　　“把多于kn+1個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了至少k+1個東西。”
　　利用上述原理容易證明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)。”因為任一整數(shù)除以3時余數(shù)只有0、1、2三種可能，所以7個整數(shù)中至少有3個數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。

如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西。

抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。

六、抽屜原理在染色問題中的應用：

1. 正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個面顏色相同.
證明：正方形有6個面 由最多[(m-1)÷n]+1 得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3

2. 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。
分析與解答: 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

3. 假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？
分析與解答:首先可以從這六個點中任意選擇一點，然后把這一點到其他五點間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現(xiàn)在我們再單獨來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設這三條線段（虛線）中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。

七、其他小問題

例1：( 六人集會問題 : 證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識。” )
是組合數(shù)學中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例，這個簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結論。這些結論構成了組合數(shù)學中的重要內容—–拉姆塞理論。
這個問題可以用如下方法簡單明了地證出：
　　在平面上用6個點A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個人。如果兩人以前彼此認識，那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線；否則連一條藍線。考慮A點與其余各點間的5條連線AB，AC，…，AF，它們的顏色不超過2種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD ，CD 3條連線中有一條（不妨設為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個紅色三角形，A、B、C代表的3個人以前彼此相識：如果BC、BD、CD 3條連線全為藍色，那么三角形BCD即一個藍色三角形，B、C、D代表的3個人以前彼此不相識。不論哪種情形發(fā)生，都符合問題的結論。

例2： 17個科學家中每個人與其余16個人通信，他們通信所討論的僅有三個問題，而任兩個科學家之間通信討論的是同一個問題。證明：至少有三個科學家通信時討論的是同一個問題。
解：不妨設A是某科學家，他與其余16位討論僅三個問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。設這6位科學家為B，C，D，E，F(xiàn)，G，討論的是甲問題。
　　若這6位中有兩位之間也討論甲問題，則結論成立。否則他們6位只討論乙、丙兩問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。
　　若C，D，E中有兩人也討論乙問題，則結論也就成立了。否則，他們間只討論丙問題，這樣結論也成立。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽屉原理（鸽巢原理）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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