概述

如果我們有一個上半球的余弦分布函數$(D_o)$，并對這個余弦分布函數進行一個矩陣$(M)$變換，變換為一個新的分布函數$(D)$。

$D=M{D}_o$

這就是基本思想：用一個余弦分布函數來擬合出不同的分布函數，并且誤差很小。

LTC基本定義與性質

我們定義$D_o$為我們的基函數，也就是我們的原始分布函數。
我們在$D_o$上采樣一個方向向量${\omega }_o$，那么我們對這個方向向量做一個線性變換，也就是做一個$M$矩陣乘法變換為一個新的方向向量$\omega$。

$\omega =\frac{M{\omega }_o}{||M{\omega }_o||}$,

${\omega }_o=\frac{M^{?1}\omega }{||M^{?1}\omega ||}$,

那么一個目標分布函數$D(\omega )$如何變換為$D_o({\omega }_o)$呢？

即就是一個變量替換：

$D(\omega )=D_o({\omega }_o)\frac{?{\omega }_o}{?\omega }=D_o(\frac{M^{?1}\omega }{||M^{?1}\omega ||})\frac{|M^{?1}|}{||M^{?1}\omega |{|}^3}$

$\frac{?{\omega }_o}{?\omega }=\frac{|M^{?1}|}{||M^{?1}\omega |{|}^3}$是Jacobian項，可以從幾何關系上進行推導。

那就讓我們簡單推導一下吧！(假如想要了解詳細，請參考原文哦！)

這要從立體角開始推導啦。我們定義一個原始分布上的立體角$?{\omega }_o$，將其進行$M$變換，得到一個新的立體角$?\omega$。

$?\omega =?{\omega }_{o}A\frac{cos\theta }{r^2}$

這就是一個立體角的定義。讓我們來探討一下里面的面積與距離的表達吧！

偷懶一下，可以從圖中看到面積與距離的表達，那么讓我們來化簡一下吧。

$M{\omega }_1\times M{\omega }_2=|M|M^{?T}({\omega }_1\times {\omega }_2)=|M|M^{?T}{\omega }_o$

$\frac{?\omega }{?{\omega }_o}=\frac{|M|}{||M{\omega }_o|{|}^3}$

$\frac{?{\omega }_o}{?\omega }=\frac{M^{?1}}{||M^{?1}\omega |{|}^3}$

如果$M$是縮放矩陣或者旋轉矩陣，這個Jacobian項等于一。即分布形狀是不變的。

讓我們假設矩陣是縮放矩陣($M=\lambda I$)，

$|M^{?1}=|M|=|\lambda I|={\lambda }^3$

$||M^{?1}\omega ||=||\lambda I\omega ||=\lambda$

$\frac{?{\omega }_o}{?\omega }=\frac{|M^{?1}|}{||M^{?1}\omega |{|}^3}=1$

讓我們假設矩陣是旋轉矩陣$M=R$。

$|M|=|M^{?1}|=1$

$||M^{?1}\omega ||=1$

$\frac{?{\omega }_o}{?\omega }=1$

那么被變換后的分布$D$有哪些性質呢？

首先是范數：

${\int }_{\Omega }D(\omega )\mathrm{d}\omega ={\int }_{\Omega }{D}_o\frac{?{\omega }_o}{\omega }\mathrm{d}\omega ={\int }_{\Omega }{D}_o({\omega }_o)\mathrm{d}{\omega }_o$

其次對于多邊形積分相等：

${\int }_{P}D(\omega )\mathrm{d}\omega ={\int }_{P_o}{D}_o({\omega }_o)\mathrm{d}{\omega }_o$
$P_o=M^{?1}P$

使用LTC近似BRDF

我們在對LTC有了一些基本的認識之后，讓我們用它來進行擬合BRDF吧！ 這里作者使用了各項同性的GGX微表面分布模型。

對于一個原分布$D_o$，我們選擇一個上半球的余弦分布，當然還可以選擇$cosin{e}^2$，均勻半球分布等：

$D_o({\omega }_o=(x,y,z))=\frac{1}{\pi }max(0,z)$

我們來定義一下目標分布吧，也就是我們將要擬合的BRDF分布函數帶著余弦項的：

$D\approx \rho ({\omega }_v,{\omega }_l)cos{\theta }_l$

對于一個各項同性的材質而言，BRDF函數分布只依賴于入射方向${\omega }_v=(sin{\theta }_v,0,cos{\theta }_v)$和粗糙度$\alpha$。

我們發現可以用一個矩陣$M$來很好的擬合$D$，矩陣被寫為：

$M=?\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& c& 0\\ d& 0& 1\end{array}?$

可以看見這個矩陣只有四個參數需要被確定。

可以從圖中看出擬合效果很不錯！

使用LTC進行多邊形光源的著色

我們在不同的多邊形光源$P$上計算直接光照的著色，${\omega }_v$代表視口方向(view direction)，$\rho$代表BRDF函數，$L$是多邊形光源出射的radiance。

$I={\int }_{P}L({\omega }_l)\rho ({\omega }_v,{\omega }_l)cos{\theta }_l\mathrm{d}{\omega }_l$

我們使用LTC對BRDF函數進行擬合，可得：

$I={\int }_{P}L({\omega }_l)\rho ({\omega }_v,{\omega }_l)cos{\theta }_l\mathrm{d}{\omega }_l\approx {\int }_{P}L({\omega }_l)D({\omega }_l)\mathrm{d}{\omega }_l$

這里我們假設多邊形光源出射的radiance是一個常數，即$L({\omega }_l)=L$，那么我們可以進一步簡化：

$I={\int }_{P}L({\omega }_l)D({\omega }_l)\mathrm{d}{\omega }_l=L{\int }_{P}D({\omega }_l)\mathrm{d}{\omega }_l$

我們再進行積分變換：

${\int }_{P}D(\omega )\mathrm{d}\omega ={\int }_{P_o}{D}_o({\omega }_o)\mathrm{d}{\omega }_o=E(P_o)$

對于一個余弦分布的半球面函數上的多邊形積分是有表達式的，即：

$E(p_1,...,p_n)=\frac{1}{2\pi }{\sum }_{i=1}^{n}acos(<p_i,p_j>)?\frac{p_i\times p_j}{||p_i\times p_j||},?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}??$

這里的$j=(i+1)mod(n)$，注意將多邊形光源進行變換后，要將光源進行上半球面的裁剪。

這里的證明就不再贅述了。

對于帶著紋理的光源來說，作者給出的方法很奇怪，就不再討論。

總結

對于這篇paper，將一種數學方法引入了圖形學，是很不錯的。

優點：

• 對于簡單多邊形光源(矩形，三角形等)來說，對于場景的著色很快，效果很棒，誤差小。

缺點：

• 復雜多邊形光源(心形等)的著色速度慢，已經很難達到實時。
• 只能針對二維平面上的多邊形光源。
• 只能進行直接光照著色。

實現流程：

通過視口方向${\omega }_v，\alpha$進行采樣LUT得到矩陣$M$。將面積光源進行旋轉，即面積光源坐標系轉變為以像素點為原點的局部坐標系。即構造一個TBN矩陣。
mul(Minv, transpose(mat3(T, Ｂ, N)));

將世界坐標系下的面積光源的頂點變換。

裁剪多邊形。

進行線積分。

這里給出LTC的網站，想了解更詳細的內容可以看看哦！

$對那充滿不安的日子說再見吧，$
$向著未知的夢境之地前行，$
$我想總有一日我會變得更加堅強！$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Polygonal-Light Shading with LTC的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。