第十講 矩陣的三角分解

一、 Gauss消元法的矩陣形式

n元線性方程組

設,設A的k階順序主子式為，若，可以令

并構造Frobenius矩陣

計算可得

該初等變換不改變行列式，故，若，則，又可定義

，并構造Frobenius矩陣

依此類推，進行到第(r-1)步，則可得到

（r＝2,3,,n-1）

則A的r階順序主子式，若，則可定義，并構造Frobenius矩陣

（r＝2,3,,n-1）

直到第（n－1）步，得到

則完成了消元的過程

而消元法能進行下去的條件是（r＝1,2,,n-1）

二、 LU分解與LDU分解

容易求出

為下三角矩陣

令為上三角矩陣，則

（L: lower U: upper L: left R: right）

以上將A分解成一個單位下三角矩陣與上三角矩陣的乘積，就稱為LU分解或LR分解。

兩個三角方程回代即可

LU分解不唯一，顯然，令D為對角元素不為零的n階對角陣，則

可以采用如下的方法將分解完全確定，即要求

L為單位下三角矩陣
U為單位上三角矩陣
將A分解為LDU，其中L、U分別為單位下三角、單位上三角矩

陣，D為對角陣D＝diag[]，而（k=1,2,…n）,

。

n階非奇異矩陣A有三角分解LU或LDU的沖要條件是A的順序主子式（r=1,2，,n）

n個順序主子式全不為零的條件實際上是比較嚴格的，特別是在數值計算中，很小時可能會帶來大的計算誤差。因此，有必要采取選主元的消元方法，這可以是列主元（在，，…中選取模最大者作為新的）、行主元（在，，…中選取模最大者作為新的）全主元（在所有（）中選模最大者作為新的）。之所以這樣做，其理論基礎在于對于任何可逆矩陣A，存在置換矩陣P使得PA的所有順序主子式全不為零。

列主元素法：在矩陣的某列中選取模值最大者作為新的對角元素，選取范圍為對角線元素以下的各元素。比如第一步：找第一個未知數前的系數最大的一個，將其所在的方程作為第一個方程，即交換矩陣的兩行，自由項也相應變換；第二步變換時，找中最大的一個，然后按照第一步的方法繼續。

行主元素法：在矩陣的某行中選取模值最大者作為新的對角元素，選取范圍為對角線元素以后的各元素，需要記住未知數變換的順序，最后再還原回去。因此需要更多的存儲空間，不如列主元素法方便。

全主元素法：若某列元素均較小或某行元素均較小時，可在各行各列中選取模值最大者最為對角元素。與以上兩種方法相比，其計算穩定性更好，精度更高，計算量增大。

三、其他三角分解

1. 定義 設A具有唯一的LDU分解

若將D、U結合起來得（），則稱為A的Doolittle分解
若將L、D結合起來得（），則稱為A的Crout分解

2. 算法

Crout分解，設

，

由乘出得

①

②

③

④

⑤ 一般地，對A,的第k列運算，有

⑥ 對A，U的第k行運算，有

直至最后，得到的恰可排成

先算列后算行

3. 厄米正定矩陣的LU分解（Cholesky分解）

其中G為下三角矩陣，

理論上，Cholesky具有中間量可以控制（）的好處，應較穩健，但實際計算中發現，對希爾伯特矩陣問題，不如全主元方法。

作業：p195 2、3

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總結

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