在思考一個(gè)有關(guān)于偽外接圓的等角線問(wèn)題時(shí)，我回想起偽外接圓的一道小題目，這是2012年羅馬尼亞大師杯的第六題，這道題目直接以結(jié)論的形式呈現(xiàn)出了偽外接圓的基本性質(zhì)，是一道入門偽外接圓必做的精巧小題。

當(dāng)然有些讀者可能從未見(jiàn)過(guò)"偽外接圓"這一名詞，這里給出定義敘述:過(guò)三角形兩點(diǎn)且與內(nèi)切圓相切的圓成為此三角形的偽外接圓。

由于偽外接圓與內(nèi)切圓相切，所以一般也歸于廣義的偽切圓。

由地位的對(duì)稱性，我們知道一個(gè)三角形有三個(gè)偽外接圓，在這道題目中這三個(gè)圓就是ω_a,ω_b,ω_c。

題目本身的圖很容易想象，所以這里就略去了畫(huà)圖這一步驟了，待后面有必要時(shí)再畫(huà)。

第一句話AA',BB',CC'三線共點(diǎn)是一句廢話，這由根心定理立得。然這樣的證明對(duì)后一句話沒(méi)有任何幫助，因?yàn)橄胱C明此點(diǎn)在IO上的話，就不得不把這個(gè)點(diǎn)本身刻畫(huà)出來(lái)。

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與BC,CA,AB分別切于D,E,F，與ω_a,ω_b,ω_c相切于X,Y,Z，設(shè)ω_a中弧BC的中點(diǎn)為L(zhǎng)，ω_b中弧CA的中點(diǎn)為M，ω_c中弧AB的中點(diǎn)為N。下面我們通過(guò)局部化來(lái)對(duì)本題中ω_a的性質(zhì)進(jìn)行探索。

在兩圓位似的觀點(diǎn)下，XD顯然過(guò)弧BC的中點(diǎn)L，這說(shuō)明∠LCD＝∠BXD＝∠LXC，得到△LCD∽△LXC，于是LB2＝LC2＝LD×LX，所以L在○I與點(diǎn)圓C的根軸上。同理M也在○I與點(diǎn)圓C的根軸上。

于是直線LM⊥IC，LM∥DE，且LM經(jīng)過(guò)線段CD,CE的中點(diǎn)。

設(shè)XD與YE交于K，已知D,E,X,Y四點(diǎn)共圓且LM∥DE，由Reim定理知L,M,X,Y四點(diǎn)共圓，于是KL×KX＝KM×KY，說(shuō)明K在ω_a和ω_b的根軸CC'上。由地位的對(duì)稱性，K也在直線AA'和BB'上。

下面來(lái)證K在直線IO上。

已經(jīng)得到LM∥DE，同理MN∥EF，NL∥FD，故△LMN與△DEF位似。

設(shè)△ABC的旁心三角形為I_aI_bI_c，則L,M,N分別是線段DI_a,EI_b,FI_c的中點(diǎn)，且△I_aI_bI_c與△DEF位似，也與△LMN位似，位似中心均為K，則△I_aI_bI_c,△DEF的兩個(gè)外心和K這三點(diǎn)共線。

注意I是△DEF的外心兼△I_aI_bI_c的垂心，O是△I_aI_bI_c的九點(diǎn)圓圓心，于是IO經(jīng)過(guò)△I_aI_bI_c的外心。前面已證K在△I_aI_bI_c外心與I的連線上，現(xiàn)在又知這條線就是IO，所以原命題得證。

附加探索:

根據(jù)△I_aI_bI_c與△LMN位似比為2:1(這個(gè)比例是由于LM經(jīng)過(guò)線段CD,CE的中點(diǎn))還可以立刻得到O是△LMN的外心。

作DD'⊥EF于D'，類似定義E',F'。已知I_aA⊥I_bI_c且△DEF與△I_aI_bI_c位似，所以D'和A是位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而A,D',K共線，進(jìn)一步得到△D'E'F'與△ABC位似，且位似中心為K。

由這道題及上面的附加探索，我們得到偽外接圓相關(guān)的幾個(gè)基本結(jié)論:

偽外接圓與內(nèi)切圓的切點(diǎn)在旁心和內(nèi)切圓與對(duì)邊切點(diǎn)的連線上，用上面的字母來(lái)表示就是X,D,I_a三點(diǎn)共線。

M在○I與點(diǎn)圓C的根軸上。

ω_a經(jīng)過(guò)線段I_aD的中點(diǎn)。

三個(gè)偽外接圓的根心(題中的點(diǎn)K)是旁心三角形與內(nèi)切圓切點(diǎn)三角形的位似中心(這個(gè)點(diǎn)稱為切聚點(diǎn)，在ETC中標(biāo)號(hào)為X57)。

△D'E'F'與△ABC位似且位似中心為K。

最后附上本文最初提到的那道等角線的題目，此題我尚未做出，難度未可知，請(qǐng)讀者慎重嘗試。如圖所示，證明標(biāo)注的兩個(gè)角相等。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三点外接圆_故地重游伪切圆——伪外接圆的基本性质的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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