線性空間與線性變換

• 綜述
• 1.2 線性變換及其矩陣
• • 1.2.3 特征值與特征向量

綜述

本系列博文主要總結(jié)學(xué)習(xí)矩陣論的心得筆記，參考數(shù)目《矩陣論》–張凱院；整個文章的整理體系參照行書過程。

1.2 線性變換及其矩陣

1.2.3 特征值與特征向量

本節(jié)討論如何選擇線性空間的基，使得線性變換在該組基下的矩陣表示最簡單。而線性變換的特征值與特征向量對于線性變換的研究起著至關(guān)重要的作用 。

特征值與特征向量具有十分鮮明的幾何意義：特征向量x經(jīng)過線性變換后方向保持不變，長度發(fā)生$\lambda$倍。嚴格的數(shù)學(xué)定義為：
設(shè)數(shù)域K上的線性空間$V_n$中有一線性變換T，對K中的某一數(shù)$\lambda$存在非零向量$x\in V_n$使得
$$Tx=\lambda x(1)$$
成立，則稱$\lambda$為T的特征值，x為T的屬于$\lambda$的特征向量。特征向量不是被特征值唯一確定的，可以存在K倍特征向量關(guān)系。特征值卻被特征向量唯一確定。

特征多項式： 在線性空間中引入基后產(chǎn)生坐標，即上述線性變換在空間$V_n$的一組基$x_1,x_2,x_3,...,x_n$下的矩陣為A,特征向量x在基下的坐標表示為：$({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n{)}^T$,則定義式（1）的坐標表示方法為:
$$A\begin{array}{c}?\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}?\end{array}=\lambda \begin{array}{c}?\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}?\end{array}(2)$$
移項可得：
$$(A?\lambda I)\begin{array}{c}?\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}?\end{array}=0(3)$$
由于特征向量x非零，所以上式的解由矩陣$(A?\lambda I)$的行列式確定。當(dāng)$det(A?\lambda I)=0$時，方程組（3）有非零解。我們稱$det(A?\lambda I)=0$為A的特征多項式，特征多項式的零點（$det(A?\lambda I)=0$的解$\lambda$）為A 的特征值，將特征值$\lambda$帶入方程組(3)解得的向量$({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n{)}^T$為A對應(yīng)與特征值$\lambda$的特征向量。

**綜上：**求一個線性變換的特征值與特征向量，只需找一組基，將線性變換表成基下矩陣的形式，求該矩陣的特征值與特征向量即可。

依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：
特征值的和=矩陣的跡
$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=trA$$
特征值的積=矩陣的行列式
$${\Pi }_{i=1}^n{\lambda }_i=detA$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵论-线性变换的特征值与特征变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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