正交矩陣

若方陣M是正交的，則當(dāng)且僅當(dāng)M與它的轉(zhuǎn)置$M^T$的乘積等于單位矩陣。見(jiàn)下列公式：
$M正交?M{M}^T=I$

如何檢測(cè)矩陣的正交性：
矩陣乘以它的逆等于單位矩陣：$M{M}^{?1}=I$

所以，如果一個(gè)矩陣是正交的，那么它的轉(zhuǎn)置等于它的逆。即：$M正交?M^{?1}=M^T$

這是一條非常有用的性質(zhì)，如果知道矩陣是正交的，那么可以避免計(jì)算矩陣的逆，這也大大減少計(jì)算量。

重要性質(zhì)

如果一個(gè)矩陣是正交的，它必須滿足下列條件：

• 矩陣的每一行都是單位向量
• 矩陣的所有行互相垂直

矩陣正交化

有時(shí)可能會(huì)遇到略微違反了正交性的矩陣。例如，可能從外部得到了壞數(shù)據(jù)，或者是浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的累積錯(cuò)誤（稱作“矩陣爬行”）。這些情況下，需要做矩陣正交化，得到一個(gè)正交矩陣，這個(gè)矩陣要盡可能的和原矩陣相同。
構(gòu)造一組正交基向量（矩陣的行）的標(biāo)準(zhǔn)算法是施密特正交化。它的基本思想是，對(duì)每一行，從中減去它平行于已處理過(guò)的行的部分，最后得到垂直向量。
以3X3矩陣為例，用$r_1,r_2,r_3$代表3X3階矩陣的行。正交向量組$r_1^{\prime },r_2^{\prime },r_3^{\prime }$的計(jì)算：
$r_1^{\prime }?r_1$
$r_2^{\prime }?r_2?\frac{r_2{r}_1^{\prime }}{r_1^{\prime }{r}_1^{\prime }}{r}_1^{\prime }$
$r_3^{\prime }?r_3?\frac{r_3{r}_1^{\prime }}{r_1^{\prime }{r}_1^{\prime }}{r}_1^{\prime }?\frac{r_3{r}_2^{\prime }}{r_2^{\prime }{r}_2^{\prime }}{r}_2^{\prime }$

現(xiàn)在$r_1^{\prime },r_2^{\prime },r_3^{\prime }$互相垂直了，它們是一組正交基。當(dāng)然，它們不一定是單位向量。構(gòu)造正交矩陣需要使用標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以必須標(biāo)準(zhǔn)化這些向量。注意，如果一開始就進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，就能避免所有除法了。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的3D数学基础：正交矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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