本題的模板是套用了

A.S.KirigiriKyouko

的模板。請(qǐng)dalao見(jiàn)諒

一、01背包

有N件物品和一個(gè)容量為V的背包。第i件物品的價(jià)格（即體積，下同）是w[i]，價(jià)值是c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。

這是最基礎(chǔ)的背包問(wèn)題，總的來(lái)說(shuō)就是：選還是不選，這是個(gè)問(wèn)題<(￣ˇ￣)/

相當(dāng)于用f[i][j]表示前i個(gè)背包裝入容量為v的背包中所可以獲得的最大價(jià)值。

對(duì)于一個(gè)物品，只有兩種情況

　　情況一: 第i件不放進(jìn)去，這時(shí)所得價(jià)值為:f[i-1][v]

　　情況二: 第i件放進(jìn)去，這時(shí)所得價(jià)值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]?

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])

一道裸01背包題↓_↓

采藥

題目描述?Description

辰辰是個(gè)天資聰穎的孩子，他的夢(mèng)想是成為世界上最偉大的醫(yī)師。為此，他想拜附近最有威望的醫(yī)師為師。醫(yī)師為了判斷他的資質(zhì)，給他出了一個(gè)難題。醫(yī)師把他帶到一個(gè)到處都是草藥的山洞里對(duì)他說(shuō)：“孩子，這個(gè)山洞里有一些不同的草藥，采每一株都需要一些時(shí)間，每一株也有它自身的價(jià)值。我會(huì)給你一段時(shí)間，在這段時(shí)間里，你可以采到一些草藥。如果你是一個(gè)聰明的孩子，你應(yīng)該可以讓采到的草藥的總價(jià)值最大。”?

如果你是辰辰，你能完成這個(gè)任務(wù)嗎？

輸入描述?Input Description

輸入第一行有兩個(gè)整數(shù)T（1<=T<=1000）和M（1<=M<=100），用一個(gè)空格隔開(kāi)，T代表總共能夠用來(lái)采藥的時(shí)間，M代表山洞里的草藥的數(shù)目。接下來(lái)的M行每行包括兩個(gè)在1到100之間（包括1和100）的整數(shù)，分別表示采摘某株草藥的時(shí)間和這株草藥的價(jià)值。

輸出描述?Output Description

輸出包括一行，這一行只包含一個(gè)整數(shù)，表示在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，可以采到的草藥的最大總價(jià)值。

樣例輸入?Sample Input

70?3

71?100

69?1

1?2

樣例輸出?Sample Output

3

數(shù)據(jù)范圍及提示?Data Size & Hint

【數(shù)據(jù)規(guī)模】

對(duì)于30%的數(shù)據(jù)，M<=10；

對(duì)于全部的數(shù)據(jù)，M<=100。

//01背包問(wèn)題 (采藥) //by Crazily #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int w[105],v[105]; int dp[105][1005]; int main(){int t,m;scanf("%d%d",&t,&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);}for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=t;j>=0;j--){if(j>=w[i]){dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);} else{dp[i][j]=dp[i-1][j];} }printf("%d",dp[m][t]); }

再上一維的

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxm = 2001, maxn = 101; int m, n; int w[maxn], c[maxn]; int f[maxm]; int main(){scanf("%d%d",&m, &n); //背包容量m和物品數(shù)量nfor (int i=1; i <= n; i++)scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每個(gè)物品的重量和價(jià)值for (int i=1; i <= n; i++) //設(shè)f(v)表示重量不超過(guò)v公斤的最大價(jià)值for (int v = m; v >= w[i]; v--) //注意是逆序f[v] = max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);printf("%d\n",f[m]); // f(m)為最優(yōu)解return 0; }

二、完全背包

有N種物品和一個(gè)容量為V的背包，每種物品都有無(wú)限件可用。第i種物品的費(fèi)用是w[i]，價(jià)值是c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。

完全背包和01背包十分相像， 區(qū)別就是完全背包物品有無(wú)限件。由之前的選或者不選轉(zhuǎn)變成了選或者不選，選幾件。√

和01背包一樣，我們可以寫(xiě)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v)

還有一個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化↓_↓

當(dāng)一個(gè)物品的價(jià)值小于另一個(gè)物品的價(jià)值，但是價(jià)格高于另一個(gè)物品，我們就可以不去考慮這個(gè)物品。即若兩件物品i、j滿足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，則將物品j去掉，不用考慮。我們?yōu)槭裁匆I一個(gè)又貴又難吃的東西呢(╯▽╰)

#include <iostream> #define V 500 using namespace std; int weight[20 + 1]; int value[20 + 1]; int f[V + 1]; int max(int a, int b) {return a > b ? a : b; } int main() {int n, m;cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> weight[i] >> value[i];}cin >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = weight[i]; j <= m; j++) {f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);}}cout<< f[m] << endl; }

三、多重背包

有N種物品和一個(gè)容量為V的背包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費(fèi)用是w[i]，價(jià)值是c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。

這里又多了一個(gè)限制條件，每個(gè)物品規(guī)定了可用的次數(shù)。

同理，我們可以得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*w[i]]+ k*c[i]|0<=k<=n[i])

一道例題↓_↓

慶功會(huì)

【問(wèn)題描述】

為了慶賀班級(jí)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上取得全校第一名成績(jī)，班主任決定開(kāi)一場(chǎng)慶功會(huì)，為此撥款購(gòu)買獎(jiǎng)品犒勞運(yùn)動(dòng)員。期望撥款金額能購(gòu)買最大價(jià)值的獎(jiǎng)品，可以補(bǔ)充他們的精力和體力。

【輸入格式】

第一行二個(gè)數(shù)n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望購(gòu)買的獎(jiǎng)品的種數(shù)，m表示撥款金額。 接下來(lái)n行，每行3個(gè)數(shù)，v、w、s，分別表示第I種獎(jiǎng)品的價(jià)格、價(jià)值（價(jià)格與價(jià)值是不同的概念）和購(gòu)買的數(shù)量（買0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。

【輸出格式】

第一行：一個(gè)數(shù)，表示此次購(gòu)買能獲得的最大的價(jià)值（注意！不是價(jià)格）。

【輸入樣例】

5 1000

80 20 4

40 50 9

30 50 7

40 30 6

20 20 1

【輸出樣例】

1040

#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int v[6002], w[6002], s[6002]; int f[6002]; int n, m; int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = m; j >= 0; j--)for (int k = 0; k <= s[i]; k++){if (j-k*v[i]<0) break;f[j] = max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);}printf("%d\n",f[m]);return 0; } //這是未優(yōu)化的

再用二進(jìn)制優(yōu)化轉(zhuǎn)換成01

#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int v[10001],w[10001]; int f[6001]; int n,m,n1; int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){int x,y,s,t=1;scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);while (s>=t) {v[++n1]=x*t;w[n1]=y*t;s-=t;t*=2;}v[++n1]=x*s;w[n1]=y*s; //把s以2的指數(shù)分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，s-2^k+1, } for(int i=1;i<=n1;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); printf("%d\n",f[m]);return 0; }

//先借用一下dalao的代碼，有空我會(huì)慢慢碼上的

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/crazily/p/9657725.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的背包问题专栏（01，完全，多重）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。