線性方程

• 求解線性方程
• • • • 高斯消去法`rref()`
      • LU因子化
      • 高效`mldivide()、\`
      • 克萊默法則
• 線性系統(tǒng)
• • • • 特征值和特征向量`eig()`
      • 矩陣指數(shù)`expm()`
• 習(xí)題

本次內(nèi)容涉及線性代數(shù)，視頻中大部分在講解線性代數(shù)的知識(shí)，只稍微提及了幾個(gè)matlab來(lái)實(shí)現(xiàn)的指令。
學(xué)了現(xiàn)代之后再來(lái)看一遍（逃~

求解線性方程

將線性方程組用矩陣 Ax=b 表示，則可通過(guò)求解矩陣來(lái)解方程：

高斯消去法rref()

R = rref(A) 使用 Gauss-Jordan 消元法和部分主元消元法返回A的簡(jiǎn)化行階梯形。
對(duì)增廣矩陣 [A b] 使用rref()則可以求解 Ax=b 對(duì)應(yīng)的線性方程組

LU因子化

[L,U,P] = lu(A) 將滿(mǎn)矩陣或稀疏矩陣 A 分解為一個(gè)上三角矩陣 U 和一個(gè)經(jīng)過(guò)置換的下三角矩陣 L，使得 A = L*U；返回一個(gè)置換矩陣 P，并滿(mǎn)足 A = P’*L*U。
通過(guò)執(zhí)行 LU 分解，然后使用因子來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，對(duì)線性方程組求解。

一些矩陣分解函數(shù)

• qr()：正交三角分解
• ldl()：Hermitian 不定矩陣的分塊 LDL 分解
• ilu()：不完全 LU 分解
• chol()：Cholesky 分解
• gsvd()：廣義奇異值分解
• svd()：奇異值分解

高效mldivide()、\

以上兩種方法在對(duì)于一般的線性方程組的求解其實(shí)并不友好，過(guò)于繁瑣。實(shí)際上，更加高效的方式是使用A\b（或者mldivide(A,b)）可直接求得方程組的根 向量x。

克萊默法則

求解矩陣方程 Ax=b ，x等于A的逆矩陣乘以b，即 x=A^-1b
通過(guò)inv(A)對(duì)矩陣A求逆，然后直接計(jì)算即可：x = inv(A)*b

需要注意，矩陣A的逆矩陣可能不存在

線性系統(tǒng)

特征值和特征向量eig()

e = eig(A) 返回一個(gè)列向量，其中包含方陣 A 的特征值；
[V,D] = eig(A) 返回特征值的對(duì)角矩陣 D 和矩陣 V，其列是對(duì)應(yīng)的右特征向量，使得 AV = VD。

模糊綜合評(píng)價(jià)中利用eig()求解最大特征根和權(quán)向量：

矩陣指數(shù)expm()

Y = expm(X) 計(jì)算 X 的矩陣指數(shù)。如果 X 有一組完整的特征向量 V 和對(duì)應(yīng)特征值 D，[V,D] = eig(X)，則expm(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V；
對(duì)于逐個(gè)元素的指數(shù)運(yùn)算，使用 exp()

習(xí)題

syms R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2; A=[R1 0 0 R4 0;0 R2 0 -R4 R5;0 0 -R3 0 R5;1 -1 0 -1 0;0 1 -1 0 -1]; b=[V1;0;V2;0;0]; x=A\b

以上內(nèi)容為個(gè)人筆記，部分圖片來(lái)源于郭老師課件或課程截圖。
筆記匯總：MATLAB基礎(chǔ)教程
課程視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1DA411Y7bN

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB数学建模 线性方程式与线性系统的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。