概率论与R语言
隨機(jī)試驗(yàn)
定義
在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).
R語言編程模擬隨機(jī)試驗(yàn)
模擬投硬幣10000次
> result = sample(0:1,10000,replace = TRUE) > length(which(result==0))/length(result) [1] 0.5029 > length(which(result==1))/length(result) [1] 0.4971模擬拋骰子10000次
> result=sample(1:6,10000,replace=TRUE) > length(which(result==1))/length(result) [1] 0.1658 > length(which(result==2))/length(result) [1] 0.1654 > length(which(result==3))/length(result) [1] 0.1707 > length(which(result==4))/length(result) [1] 0.1714 > length(which(result==5))/length(result) [1] 0.1609 > length(which(result==6))/length(result) [1] 0.1658幾何概率（連續(xù)）
定義
當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量 (長度、 面積、體積) 相同的子區(qū)域是等可能的，則事件 A 的概率可定義為
P(A) = S(A)/S
其中S是樣本空間的度量，S(A)是構(gòu)成事件A的子區(qū)域的度量，這樣借助于幾何上的度量來合理規(guī)定的概率成為幾何概型
說明：當(dāng)古典概型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí)候就歸結(jié)為幾何概型
蒲豐投針實(shí)驗(yàn)
1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針
試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離為a(a > 0)的一些平行直
線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b( b < a )的針,試求
針與某一平行直線相交的概率.
歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)
R語言實(shí)現(xiàn)蒲豐投針實(shí)驗(yàn)
> n=50000 > a=1.0 > b=0.85 > m=0 > for(i in 1:n) + { + x= runif(1, min = 0, max = a/2) + fai= runif(1, min = 0, max = pi) + if(x<=b/2*sin(fai)) m=m+1 + } > print(m) [1] 27266 > print((2*b*n)/(a*m)) [1] 3.117436兩點(diǎn)分布
設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律
| P(k) | 1-p | p |
R生成兩點(diǎn)分布的隨機(jī)數(shù)：
rbinom(生成次數(shù), 1, p)
模擬拋硬幣100次：
> sample(c(0,1), 100, replace = TRUE, prob = c(1/2,1/2))[1] 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0[27] 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1[53] 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1[79] 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 >模擬拋骰子10次
> sample(1:6, 10, replace = TRUE, prob = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6))[1] 3 6 3 6 1 1 4 4 2 3二項(xiàng)分布
定義
若X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，X屬于{0,1,2,3,…，n}，X的分布律為
| P(k) | q? | (n 1)pq(?﹣1) | … | (n k)pkq(?﹣k) | … | p? |
稱這樣的分布為二項(xiàng)分布，記為X ~ b(n,p)
R語言實(shí)現(xiàn)二項(xiàng)分布
例1
在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從 b (5,0.6) 的二項(xiàng)分布
> x=dbinom(0:5,5,0.6) > x [1] 0.01024 0.07680 0.23040 0.34560 0.25920 0.07776例2
一大批產(chǎn)品中一級品率為0.2，隨機(jī)抽查20只，問20只產(chǎn)品中恰好有k（k=0,1,2,…,20）只一級品的概率
> x=dbinom(0:20,20,0.2) > x[1] 1.152922e-02 5.764608e-02 1.369094e-01[4] 2.053641e-01 2.181994e-01 1.745595e-01[7] 1.090997e-01 5.454985e-02 2.216088e-02 [10] 7.386959e-03 2.031414e-03 4.616849e-04 [13] 8.656592e-05 1.331783e-05 1.664729e-06 [16] 1.664729e-07 1.300570e-08 7.650410e-10 [19] 3.187671e-11 8.388608e-13 1.048576e-14圖示概率分布
> plot(x,type="h")例3
某人射擊命中率為0.2，獨(dú)立射擊200次，至少擊中兩次的概率
> sum(dbinom(2:200,200,0.02)) [1] 0.9106245 > dbinom(2:200,200,0.02)[1] 1.457727e-01 1.963468e-01 1.973486e-01 1.578789e-01 1.047156e-01[6] 5.922689e-02 2.916018e-02 1.269559e-02 4.948688e-03 1.744436e-03[11] 5.607115e-04 1.654847e-04 4.511026e-05 1.141566e-05 2.693746e-06 ......泊松分布
二項(xiàng)分布 — （np->入(n->+8) —> 泊松分布
R語言：
dpois(x, lambda)
plot(dpois(0:10 , 2))
例1
在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率
為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通
過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?
例2
R語言 二項(xiàng)分布 泊松分布 循環(huán)語句 對比
> qbinom(0.99, 300, 0.01) [1] 8 > qpois(0.99, 300*0.01) [1] 8 > for(i in 0:300) { if(sum(dpois(0:i,3))<0.99) next else {print(i);break}} [1] 8例3
例6 設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法 , 其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺; 其二是由3人共同維護(hù)臺80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.
> ppois(3, 0.8, lower.tail = FALSE) [1] 0.009079858 > 1-ppois(3, 0.8) [1] 0.009079858 > 1-sum(dpois(c(0,1,2,3), 0.8)) [1] 0.009079858幾何分布
若隨機(jī)變量X的分布律為
| P(k) | p | qp | … | pq(k﹣1) | … |
,p + q = 1
則稱X服從幾何分布
R語言：dgeom(x,p)
待更。。。
總結(jié)
- 上一篇： Number of Pairs（思维）
- 下一篇： 【学术会议】如何rebuttal学术论文