因為筆者最近在復習數值計算，所以開一個數值計算的版塊

數值計算：為數學的一個分支，是研究分析用計算機求解數學計算問題的數值計算方法及其理論的學科。它以數字計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象，為計算數學的主體部分。主要內容有：線性方程組的求解，如直接求法，迭代求法，非線性方程組和方程的數值求解方式，矩陣特征值問題的數值計算，插值法，函數逼近。數值積分和數值微分以及常微分方程初值問題的數值解法幾大版塊。

首先介紹幾個概念：

誤差

誤差主要分為四大類：輸入數據的誤差，舍入誤差，截斷誤差，在計算過程中產生的誤差傳播。

輸入數據的誤差：在計算之前的誤差，例如物理數據測量的不可靠性引起的等。

舍入誤差:計算機的數字位數有限，導致在二進制存儲的計算機的浮點數據是實數集的一個有限子集而不是全集，運算中常用四舍五入的方式處理十進制的有限數字，所以在運算中就會引起誤差。

截斷誤差:一般是指求解某個數學問題的數值解釋沒用有限的過程替代無限的過程中產生的誤差。

在計算過程中產生的誤差傳播:一個計算可能包括多個計算過程，由于上述三種原因產生的不可抗誤差，計算中使用的基本都是近似值，從而出現的誤差傳播。

為研究誤差對結果影響的大小，所以引入了兩個量來評估誤差：絕對誤差，相對誤差。
假如一個數的精確值是x,近視值是x1，則絕對誤差就是精確值減去近似值的絕對值，相對誤差是：精確值減去近似值的絕對值除以精確值。由于精確值往往是未知的，所以絕對誤差基本沒啥意義，而相對誤差也常常是求出一個誤差上限，而不是具體的值。
絕對誤差界和相對誤差界：

假設$x_A$是某個實數$x$的近似值，存在一個${?}_A$滿足：$\mid x?x_A\mid \le {?}_A$則把${?}_A$稱為$x_A$的一個絕對誤差界，若$x_A=0$,稱$\frac{{?}_A}{\mid x\mid }$是$x_A$的一個相對誤差界。

有效數字：

設$x_A$是某個實數$x$的近似值，寫成$x_A=\pm 10^k\times 0.d_1{d}_2...d_i...$,其中$x_A$可以是無限或者有限小數，如果n是滿足：$\mid x?x_a\mid \le 0.5\times 10^{k?n}$的最大非負整數，則稱$x_A$為$x$的具有n位有效數字的近似值。

定理：設$x^{?}$為$x$的n位有效數字的近似值，則其相對誤差限為

$\mid E_r^{?}(x)\mid \le \frac{1}{2a_1}\times 10^{?(n?1)}$,

反之如果近似值$x^{?}$的相對誤差滿足：

$\mid E_r^{?}(x)\mid \le \frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{?(n?1)}$,則$x^{?}$至少具有n為有效數字。

數值穩定性問題：對一種數值方法，如果初始數據或計算過程某一步的中間結果有微小的改變，由此引起最后結果的改變也是微小的，就稱這個方法是數值穩定的，否則就是數值不穩定的。
整兩道例題回顧一下知識點：


引論總是簡單的，后面的難度將逐步提升直到烈獄難度。

歡樂的時光總是短暫的，讓我們下一次再見！！！

good good study,day day up! (study hard, improve every day)

預知后事，請聽下回分解！！！！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数值计算（一）：引论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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