數值計算引論

本文參考書為馬東升著《數值計算方法》

誤差的來源

• 觀測誤差（測量誤差）

  觀測或實驗所得到的參數與真值的誤差

• 模型誤差（描述誤差）

  建立的數學模型與實際事物的差距。如自由落體的數學模型 $s=\frac{1}{2}g{t}^2$ 忽略了空氣阻力

• 截斷誤差（方法誤差）

  許多數學運算是通過極限過程來定義的，而計算機只能完成有限次運算。故實際應用需要將解題方案加工成有限序列，即表現為無窮過程的截斷

  例：數學模型是無窮級數
  $$\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(x_0)$$
  實際計算中，只能截取前面的有限項
  $$\sum _{k=0}^{n?1}\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(x_0)$$
  即舍去無窮級數后半段，產生了截斷誤差

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• 舍入誤差（計算誤差）

  因為受計算機字長限制，參與運算的數據總是只能具有有限位，原始數據表示可能產生誤差，每一次運算又可能產生新的誤差

  例：圓周率只能存儲有限位，如 $\pi$ 存儲為四位小數 $3.1416$ ，則
  $$3.1416?\pi =0.0000073?$$
  即為舍入誤差

近似數的誤差表示

• 絕對誤差

  設 $x^{?}$ 為準確值 $x$ 的一個近似值，稱
  $$e(x^{?})=x?x^x$$
  是近似值 $x$ 的絕對誤差。簡記為 $e^{?}$

  因為準確值往往不知道，故定義：若
  $$|e^{?}|=|x?x^{?}|\le \epsilon (x^{?})$$
  則稱 $\epsilon (x^{?})$ 為絕對誤差限。簡記為 ${\epsilon }^{?}$

  例：

  四舍五入誤差限
  $$|x?x^{?}|\le \frac{1}{2}\times 10^{m?n}$$
  即四舍五入得到的近似數的誤差限是末位的半個單位

  例： 圓周率四舍五入近似數3.1416，求其誤差限

  解：

  • 法1，誤差限是末位的半個單位

  $${\epsilon }^{?}=\frac{1}{2}\times 10^{?4}$$

  • 法2（主要方法）

  $${\epsilon }^{?}=\frac{1}{2}\times 10^{m?n},m=1,n=5$$

  故
  $$m?n=?4,{\epsilon }^{?}=\frac{1}{2}\times 10^{?4}$$

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• 相對誤差

  設 $x^{?}$ 為準確值 $x$ 的一個近似值，稱
  $$e_r(x^{?})=\frac{e^{?}}{x}=\frac{x?x^{?}}{x}$$
  為近似值 $x^{?}$ 的相對誤差。簡記為 $e_r^{?}$

  若正數 ${\epsilon }_r^{?}$ 滿足
  $$|e_r^{?}|=|\frac{x?x^{?}}{x}|\le {\epsilon }_r^{?}$$
  則稱 ${\epsilon }_r^{?}$ 為 $x$ 的相對誤差限

  實際上精確值往往未知，故常把
  $$|e_r^{?}|=|\frac{x?x^{?}}{x}|\le \frac{{\epsilon }^{?}}{|x^{?}|}={\epsilon }_r(x^{?})$$
  作為 $x^{?}$ 的相對誤差

  例： 取3.14作為 $\pi$ 的四舍五入近似值時，求其相對誤差限

  解： 近似值 $x^{?}=3.14$ 的絕對誤差限為 ${\epsilon }^{?}=\frac{1}{2}\times 10^{?2}$ ，則其相對誤差限為
  $${\epsilon }_r^{?}=\frac{{\epsilon }^{?}}{|x^{?}|}=\frac{\frac{1}{2}\times 10^{?2}}{3.14}=0.159\%$$

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• 有效數字

  設近似值 $x^{?}=0.x_1{x}_2?x_n?\times 10^m$ ，且 $x_1=0$ ，若
  $$|x?x^{?}|\le \frac{1}{2}\times 10^{m?n}$$
  則稱 $x^{?}$ 為 $x$ 具有 $n$ 位有效數字的近似值

  **例：**取3.142和3.141作為 $\pi$ 的近似值，各有幾位有效數字？

  解：$|\pi ?3.142|=0.000407?<0.0005<\frac{1}{2}\times 10^{?3}$

  因為 $m?n=?3,m=1$ ,故有 $n=4$ （4位有效數字）

  $|\pi ?3.141|=0.00059?<0.005<\frac{1}{2}\times 10^{?2}$

  因為 $m?n=?2,m=1$ ,故有 $n=3$ （3位有效數字）

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  快速判斷：

  • 因為四舍五入誤差限

  $$|x?x^{?}|\le \frac{1}{2}\times 10^{m?n}$$

  即四舍五入得到的近似數的誤差限是末位的半個單位

  故四舍五入得到的近似數全是有效數字

  • 若用四舍五入取準確值的前 $n$ 位 $x^{?}$ 作為近似值，則 $x^{?}$ 必有 $n$ 個有效數字

  例： 自然對數的底 $e=2.718281828459045?$

  取四舍五入近似值

  $e^{?}=2.718$ ，有4位有效數字（第四位 2 被四舍五入舍去）

  $e^{?}=2.7182$ ，有4位有效數字（不是四舍五入）

  $e^{?}=2.71828$ ，有6位有效數字（第六位 1 被四舍五入舍去）

• 有效數字與相對誤差

  • 若近似數 $x^{?}=0.x_1{x}_2?x_n?\times 10^m$ 具有 $n$ 位有效數字，則其相對誤差
    $$|e_r^{?}|\le \frac{1}{2x_1}\times 10^{?(n?1)}$$
    即有效數字位數越多，相對誤差越小

  • 若近似數 $x^{?}=0.x_1{x}_2?x_n?\times 10^m$ 的相對誤差
    $$|e_r^{?}|\le \frac{1}{2(x_1+1)}\times 10^{?(n?1)}$$
    則該近似數至少具有 $n$ 位有效數字

  例： 取3.14作為圓周率四舍五入近似值，試求其相對誤差

  解： 四舍五入近似數3.14有三位有效數字，故
  $${\epsilon }_r^{?}=\frac{1}{2x_1}\times 10^{?(n?1)}=\frac{1}{2\times 3}\times 10^{?(3?1)}=0.17\%$$

  例： 求 $\sqrt{6}$ 的近似值，使其相對誤差不超過 $\frac{1}{2}\times 10^{?3}$

  解： 因為 $\sqrt{6}=2.4494?$ 則由
  $$\frac{1}{2\times 2}\times 10^{?(n?1)}\le \frac{1}{2}\times 10^{?3}$$
  得 $n=4$ ，故取 $x^{?}=2.449$

  但當 $x^{?}=2.45$ 時，$|\frac{\sqrt{6}?2.45}{2.45}|\approx 0.0208\%<\frac{1}{2}\times 10^{?3}$

  由于定理一是對所有具有 n 位有效數字得近似數都成立，故誤差限的估計偏大

  例： 已知近似數的相對誤差為 $0.25\%$ ，問可能有幾位有效數字

  解： 由
  $$|e_r^{?}|\le \frac{1}{2(x_1+1)}\times 10^{?(n?1)}$$
  得 $0.25\%=\frac{1}{2(x_1+1)}\times 10^{?(n?1)}$
  $$\{\begin{array}{l}{x}_1=1,則n=3\\ x_1=9,則n=2.3\end{array}$$
  按最不利得情況，至少有 2 位有效數字

近似數的運算

• 近似數的加法

  • 和的絕對誤差等于各項絕對誤差之和
  • 和的絕對誤差限不超過各項絕對誤差限之和
  • 和的相對誤差介于各項的相對誤差中的最大值和最小值之間

• 近似數的減法

  • 差的絕對誤差限不超過兩數絕對誤差限之和

• 近似數的乘法

  • 積的相對誤差限不超過各因子的相對誤差限之和

• 函數運算誤差

  • $e(f(x^{?}))\approx |f^{\prime }(x^{?})|{\epsilon }^{?}$
  • $e_r(f(x^{?}))\approx |\frac{f^{\prime }(x^{?})}{f(x^{?})}{\epsilon }^{?}|$

  例： 設 $x>0$ ，$x$ 的相對誤差為 $2\%$ ，求 $x^n$ 的相對誤差

  解：
  $$e_r(x^n)\approx \frac{n{x}^{n?1}e(x)}{x^n}=2n\%$$

數值穩定性和減小運算誤差

• 數值穩定性

  原始數據有擾動（即誤差），而計算中舍入誤差不增長，則稱此算法數值穩定。否則，若誤差增長則稱算法數值不穩定

• 減小運算誤差

  • 使用數值穩定的算法
  • 避免兩個相似數相減
  • 絕對值太小的數不宜作除數
  • 避免大數吃小數（計算機運算位數）
    • 如 $10^9+1=0.10000000\times 10^{10}+0.00000000\times 10^{10}=0.10000000\times 10^{10}$
  • 算法的遞推性

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数值计算方法第一章—数值计算引论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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