1 問(wèn)題建模

首先對(duì)待研究的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型
在倒立擺模型分析這篇文章里，我們已經(jīng)做了完整的受力分析。最終得到了關(guān)于系統(tǒng)變量的微分方程。
$$(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}?ml\ddot{\psi }=u$$
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }?mgl\psi =ml\ddot{x}$$

2 狀態(tài)空間

可以將狀態(tài)空間理解為一個(gè)包含系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)輸出和狀態(tài)變量的集合，它們之間的關(guān)系可以用一個(gè)一階微分方程表達(dá)出來(lái)。

$$狀態(tài)空間（集合）=?\begin{array}{r}系統(tǒng)輸入\\ 系統(tǒng)輸出\\ 狀態(tài)變量\end{array}?=一階微分方程$$
通過(guò)觀察我們知道，目前系統(tǒng)模型是以二階微分方程的形式描述的。為了消除方程中的高階項(xiàng)，可以整理得到下面的式子。
$$?\begin{array}{l}\dot{x}=\dot{x}\\ \ddot{x}=\frac{m^2{l}^{2}g}{I(m+M)+mM{l}^2}\psi ?\frac{b(I+m{l}^2)}{I(m+M)+mM{l}^2}\dot{x}+\frac{(I+m{l}^2)}{I(m+M)+mM{l}^2}u\\ \dot{\psi }=\dot{\psi }\\ \ddot{\psi }=\frac{mlg(m+M)}{I(m+M)+mM{l}^2}\psi ?\frac{mlb}{I(m+M)+mM{l}^2}\dot{x}+\frac{ml}{I(m+M)+mM{l}^2}u\end{array}$$
已知系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$
式中$\dot{x}$表示系統(tǒng)中的一階微分項(xiàng)，$y$表示系統(tǒng)狀態(tài)。以矩陣運(yùn)算的形式表示系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：
$$?\begin{array}{c}\dot{x}\\ \ddot{x}\\ \dot{\psi }\\ \ddot{\psi }\end{array}?=?\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& ?\frac{b(I+m{l}^2)}{I(m+M)+mM{l}^2}& \frac{m^2{l}^{2}g}{I(m+M)+mM{l}^2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& ?\frac{mlb}{I(m+M)+mM{l}^2}& \frac{mlg(m+M)}{I(m+M)+mM{l}^2}& 0\end{array}?\times ?\begin{array}{c}x\\ \dot{x}\\ \psi \\ \dot{\psi }\end{array}?+?\begin{array}{c}0\\ \frac{(I+m{l}^2)}{I(m+M)+mM{l}^2}\\ 0\\ \frac{ml}{I(m+M)+mM{l}^2}\end{array}?u$$
$$y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\times ?\begin{array}{c}x\\ \dot{x}\\ \psi \\ \dot{\psi }\end{array}?+\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]\times u$$

3 LQR控制器設(shè)計(jì)

L（Linear）Q（Quadratic）R（Regulator），直譯為線性二次型控制器。
可以通過(guò)加入反饋，使系統(tǒng)最終能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但如何選取最好的系統(tǒng)特征值（極點(diǎn)）在系統(tǒng)收斂的前提下實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的收斂過(guò)程，這是我們目前要考慮的問(wèn)題。
這里我們引入目標(biāo)函數(shù)（價(jià)值函數(shù)），使系統(tǒng)在收斂的同時(shí)，滿足$J$最小：
$$\begin{gathered} J={\int }_{t_0}^{t_f}[X^{T}QX+U^{T}RU]dt \\ min(J) \end{gathered}$$

$Q$是一個(gè)對(duì)角矩陣，$X^{T}QX=a{x}_1^2+b{x}_2^2+c{x}_3^2+......$，當(dāng)系統(tǒng)中的狀態(tài)變量$x=0$時(shí)，我們可以通過(guò)調(diào)節(jié)$Q$中元素的值來(lái)改變?cè)撟兞康膶?duì)$J$的影響。$Q$中較大的一項(xiàng)對(duì)應(yīng)在收斂過(guò)程中優(yōu)先考慮的系統(tǒng)變量。

同理，$U^{T}RU$則代表了系統(tǒng)輸入$U$對(duì)價(jià)值函數(shù)$J$的影響。因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$J$是積分的形式，當(dāng)矩陣$R$中某一項(xiàng)較大，則意味著我們希望該項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸入能夠快速收斂到0。這么做的現(xiàn)實(shí)意義往往是以最小的代價(jià)（例如能耗）實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。
式子中代表系統(tǒng)輸入的$U$在一個(gè)能夠?qū)崿F(xiàn)自穩(wěn)定的系統(tǒng)中（例如我們這里設(shè)計(jì)的倒單擺系統(tǒng)）代表控制器反饋回路的輸出。

們目前涉及的倒立擺系統(tǒng)只有一個(gè)輸入，即倒立擺所受到的外部牽引力$U$，所以矩陣$R$僅有一個(gè)元素。另外有四個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量，分別是$x,\dot{x},\psi ,\dot{\psi }$，因此對(duì)角矩陣$Q$的規(guī)模為$4\times 4$。
在MATLAB中，我們可以調(diào)用$lqr()$函數(shù)生成滿足$J$最小的反饋矩陣$K$。$K$對(duì)應(yīng)的就是各個(gè)系統(tǒng)變量反饋路徑中的增益。即：
$$U=[K_1,K_2,K_3,K_4]\times ?\begin{array}{c}x\\ \dot{x}\\ \psi \\ \dot{\psi }\end{array}?$$

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下圖是倒立擺開環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。顯然系統(tǒng)是不收斂的。

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引入LQR反饋后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

4 MATLAB 代碼

clc; clear; close all;% Parameters: % m: mass of pendulum (kg) % M: mass of cart (kg) % b: dampling coefficient % I: rotional inertia % g: acceleration of gravity % L: the distance from mass center to the hingem = 3.375; M = 5.40; b = 0.01; I = 0.0703125; g = 9.80665; L = 0.25;% create transfer function model s = tf('s');q = (m + M) * (I + m * L^2) - (m * L)^2;P_cart = (((I + m * L^2) / q) * s^2 - (m * g * L / q)) / ...(s^4 + (b * (I + m * L^2)) * s^3 / q - ((M + m) * m * g * L) * s^2 / q - b * m * g * L * s / q);P_pend = (m * L * s / q) / ...(s^3 + (b * (I + m * L^2)) * s^2 / q - ((M + m) * m * g * L) * s / q - b * m * g * L / q);sys_tf = [P_cart; P_pend];inputs = {'u'}; outputs = {'x'; 'phi'}; set(sys_tf,'InputName',inputs); set(sys_tf,'OutputName',outputs);sys_tf% create state-space model p = I * (m + M) + m * M * L^2;A = [0, 1, 0, 0;0, -b * (I + m * L^2) / p, (m^2 * L^2 * g) / p, 0;0, 0, 0, 1;0, -(m * L * b) / p, m * L * g * (M + m) / p, 0];B = [0;(I + m * L^2) / p;0;m * L / p];C = [1, 0, 0, 0;0, 0, 1, 0];D = [0;0];% definitions of system variables states = {'x' 'x_dot' 'phi' 'phi_dot'}; inputs = {'u'}; outputs = {'x'; 'phi'};sys_ss = ss(A, B, C, D, 'statename', states, 'inputname', inputs, 'outputname', outputs);% poles of open loop system poles = pole(sys_tf); poles% impulse response of system t = 0: 0.01: 1; impulse(sys_ss, t);% step response of system t = 0: 0.01: 1; step(sys_ss, t);% LQR simulation % Q matrix of LQR controller Q = [1000, 0, 0, 0;0, 0, 0, 0;0, 0, 500, 0;0, 0, 0, 0];R = 0.1;% optimal gain matrix K K = lqr(A, B, Q, R);Ac = A - B * K; sys_lqr = ss(Ac, B, C, D, 'statename', states, 'inputname', inputs, 'outputname', outputs);% impulse response of system t = 0: 0.01: 2; impulse(sys_lqr, t);100% step response of system t = 0: 0.01: 3; step(sys_lqr, t);

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的对倒立摆的LQR控制的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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