目錄

• • 1. 引言
  • 2. 連桿坐標(biāo)系
  • 3 DH參數(shù)
  • • 3.1 DH參數(shù)的介紹
  • 3.2 DH參數(shù)定義
  • • • 3.2.1 連桿長(zhǎng)度和扭角
      • 3.2.2 連桿轉(zhuǎn)角和連桿偏距
  • 4. 解決問題
  • 5. 總結(jié)

1. 引言

??前面的文章我們一直在介紹坐標(biāo)系以及它們之間的變換關(guān)系，數(shù)學(xué)的意味還是很濃的。講了那么多的公式和規(guī)律，它們要怎么用在機(jī)器人上呢？這篇文章將介紹坐標(biāo)系和機(jī)器人之間的紐帶即連桿坐標(biāo)系。完成這篇文章的介紹之后我們就可以利用一些機(jī)器人的開發(fā)平臺(tái)如ROS，Robotic Toolbox，SimMechanics等來進(jìn)行一些基本的機(jī)器人建模與仿真工作了。

2. 連桿坐標(biāo)系

??從前面一系列關(guān)于坐標(biāo)系的文章中我們了解到可以利用齊次變換矩陣來計(jì)算某個(gè)空間點(diǎn)在各個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。在機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)（3）—— 坐標(biāo)系及其變換文章開頭我們提出了一個(gè)問題，如何求解一個(gè)多連桿機(jī)器人（如下圖）的末端點(diǎn)P在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。介紹到這里我們終于可以嘗試解決這個(gè)問題。

??由于機(jī)器人的各個(gè)連桿之間可以發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，我們真的很難直觀地看出末端點(diǎn)在世界坐標(biāo)系的位置。那怎么辦呢？其實(shí)我們可以把這個(gè)問題分解一下讓每個(gè)子問題求解起來沒有那么困難。

??如果我們建立一個(gè)與末端連桿固連的坐標(biāo)系，那么 $P$ 點(diǎn)在該坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是很容易給出的，因?yàn)樗缓湍┒诉B桿的機(jī)械尺寸有關(guān)，與機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)無關(guān)，這就是一個(gè)連桿坐標(biāo)系。連桿坐標(biāo)系是一個(gè)個(gè)與機(jī)器人的連桿固連在一起的坐標(biāo)系。如果我們?cè)跈C(jī)器人的每一個(gè)連桿上都建立一個(gè)固連坐標(biāo)系，并且我們想辦法求解每相鄰兩個(gè)連桿之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系，是不是就能很容易地將P點(diǎn)坐標(biāo)映射到世界坐標(biāo)系了呢（相對(duì)而言相鄰兩個(gè)連桿之間的坐標(biāo)變換關(guān)系是容易求得的）。

??這時(shí)比較關(guān)鍵的問題是怎么求解相鄰兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。隨便建立連桿坐標(biāo)系肯定是不好的，一方面這將導(dǎo)致坐標(biāo)系之間的關(guān)系復(fù)雜多樣，難以統(tǒng)一；另一方面我們可能需要進(jìn)行很多不必要參數(shù)的測(cè)量。因此建立連桿坐標(biāo)系需要一套準(zhǔn)則。我們希望這套準(zhǔn)則盡可能使用較少的參數(shù)來描述各個(gè)坐標(biāo)系，同時(shí)我們希望這套準(zhǔn)則是普適的。

??1995年Jacques Denavit 和 Richard Hartenberg解決了這個(gè)問題，他們提出了著名的DH參數(shù)法建立連桿坐標(biāo)系的準(zhǔn)則。在這個(gè)準(zhǔn)則下每個(gè)連桿只需四個(gè)參數(shù)就可以確定它的連桿坐標(biāo)系。

3 DH參數(shù)

3.1 DH參數(shù)的介紹

??DH參數(shù)是一種描述連桿坐標(biāo)系的方法，如下圖所示。可以認(rèn)為這是機(jī)器人中的兩個(gè)相鄰連桿 $Lin{k}_{i?1}$ 和 $Lin{k}_i$。在這里我首先還是希望解釋一下圖中符號(hào)的含義，特別是下標(biāo)含義，我學(xué)習(xí)的時(shí)候經(jīng)常弄混。

圖1. DH參數(shù)

??首先我們來定義兩個(gè)概念，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和傳動(dòng)關(guān)節(jié)，這兩個(gè)概念很容易理解。我們都知道對(duì)于電驅(qū)動(dòng)的機(jī)器人，各個(gè)關(guān)節(jié)處通常都會(huì)有伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)。在一個(gè)串聯(lián)機(jī)器人中連桿i靠近基座的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)連桿i的運(yùn)動(dòng)，稱為連桿i的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié); 連桿i靠近末端執(zhí)行器的關(guān)節(jié)用于驅(qū)動(dòng)連桿i+1的運(yùn)動(dòng)，因此我們稱這個(gè)關(guān)節(jié)為連桿i的傳動(dòng)關(guān)節(jié)。DH參數(shù)建立的坐標(biāo)系又被稱為傳動(dòng)軸坐標(biāo)系。這里需要強(qiáng)調(diào)連桿i的坐標(biāo)系是建立在傳動(dòng)關(guān)節(jié)也就是靠近末端執(zhí)行器一側(cè)的關(guān)節(jié)處，也就是說坐標(biāo)系$O_{i?1}{x}_{i?1}{y}_{i?1}{z}_{i?1}$（簡(jiǎn)稱 $\{O_{i?1}\}$）是與 $Lin{k}_{i?1}$ 固連在一起的，坐標(biāo)系 $\{O_i\}$ 是與 $Lin{k}_i$ 固連在一起的，在后面的介紹中請(qǐng)各位一定牢記，否則你會(huì)覺得整個(gè)坐標(biāo)系變換都很奇怪。

??$Axi{s}_{i?1}$ 對(duì)應(yīng)的是 $Lin{k}_{i?1}$ 的驅(qū)動(dòng)軸; $Axi{s}_i$ 對(duì)應(yīng)的是 $Lin{k}_{i?1}$ 的傳動(dòng)軸以及 $Lin{k}_i$ 的驅(qū)動(dòng)軸; $Axi{s}_{i+1}$對(duì)應(yīng)的是 $Lin{k}_i$ 的傳動(dòng)軸…

??標(biāo)志右斜杠的兩對(duì)直線圈1和圈2分別是兩對(duì)平行直線。圖中的 ${\theta }_i$ 、$d_i$ 、${\alpha }_i$ 、$a_i$ 就是我們要介紹的 $Lin{k}_i$ 的DH參數(shù)。

3.2 DH參數(shù)定義

??要說DH參數(shù)為何如此受青睞我覺得主要有兩個(gè)原因。第一就是DH參數(shù)描述一個(gè)連桿坐標(biāo)系只需要4個(gè)參數(shù); 第二這四個(gè)參數(shù)具備明顯的物理意義：

${\theta }_i$ 代表坐標(biāo)系 $\{O_{i?1}\}$ 和坐標(biāo)系 $\{O_i\}$ 之間x軸的夾角，也就是 $Axi{s}_i$ 旋轉(zhuǎn)的角度（這不就是關(guān)節(jié)i電機(jī)旋轉(zhuǎn)的角度嗎）

$d_i$ 代表坐標(biāo)系 $\{O_i\}$ 想對(duì)于坐標(biāo)系 $\{O_{i?1}\}$ 在 $z_{i?1}$ 軸方向的偏移量

${\alpha }_i$ 代表 $Lin{k}_i$ 的驅(qū)動(dòng)軸和傳動(dòng)軸之間的夾角

$a_i$ 代表 $Lin{k}_i$ 的數(shù)學(xué)意義上的長(zhǎng)度

??從上面的描述我們可以看出1和2是描述的是 $Lin{k}_{i?1}$ 和 $Lin{k}_i$ 之間的關(guān)系，3和4描述的是 $Lin{k}_i$ 的固有屬性（因?yàn)樗鼈冎缓?$Lin{k}_i$ 有關(guān)）。因此要說清楚DH參數(shù)，這兩組不同含義的參數(shù)還是分開來看。

3.2.1 連桿長(zhǎng)度和扭角

??我們先從 ${\alpha }_i$ 和 $a_i$ 的定義開始，因?yàn)檫@兩個(gè)參數(shù)比較直觀。下圖就是連桿固有參數(shù) ${\alpha }_i$ 和 $a_i$ 的示意圖。再次強(qiáng)調(diào)連桿長(zhǎng)度和扭角是連桿自身的固有屬性，與其他連桿沒有任何關(guān)系。

圖2. 連桿固有屬性

??無論這個(gè)連桿有多么的復(fù)雜，我們都可以對(duì)它進(jìn)行一種統(tǒng)一的描述：兩根關(guān)節(jié)軸線（$Axi{s}_i$ 和 $Axi{s}_{i+1}$）以及他們的公垂線（圈1）是對(duì)一個(gè)連桿最簡(jiǎn)單的抽象。這里可能需要一點(diǎn)點(diǎn)空間幾何的知識(shí)，異面直線有且僅有一條公垂線。

??在這里我們定義Axis_{i}和Axis_{i+1}的公垂線圈1的長(zhǎng)度為連桿長(zhǎng)度a_{i}，這就是四個(gè)DH參數(shù)中的第一個(gè)參數(shù)。

??定義 $Axi{s}_i$ 和 $Axi{s}_{i+1}$ 兩條異面直線的夾角為連桿的關(guān)節(jié)扭角 ${\alpha }_i$，圖中雙右斜杠對(duì)應(yīng)的兩條直線平行，這是DH參數(shù)中的第二個(gè)參數(shù)。

3.2.2 連桿轉(zhuǎn)角和連桿偏距

??接下來我們來看連桿轉(zhuǎn)角 ${\theta }_i$ 和 $連桿偏距d_i$ 的定義。這兩個(gè)參數(shù)描述的是一種位置關(guān)系。再次強(qiáng)調(diào)它們描述的是相鄰兩個(gè)連桿之間的位置關(guān)系，不再是連桿的固有屬性。就這里來說 ${\theta }_i$ 和 $d_i$ 描述的是 $Lin{k}_i$ 相對(duì)于 $Lin{k}_{i?1}$ 的位置關(guān)系。

??請(qǐng)?jiān)诨氐綀D1中觀察（這里我把圖1放在了下面，方便觀看），$\{O_{i?1}\}$ 和 $\{O_i\}$ 分別是與 $Lin{k}_{i?1}$ 和 $Lin{k}_i$ 固連的坐標(biāo)系。根據(jù)我們的定義 $\{O_{i?1}\}$ 的x軸建在 $Axi{s}_{i?1}$ 和 $Axi{s}_i$ 的公垂線上，$\{O_i\}$ 的x軸建在 $Axi{s}_i$ 和 $Axi{s}_{i+1}$ 的公垂線上。仔細(xì)體會(huì)一下這說明了什么。這說明 $\{O_{i?1}\}$ 的x軸和 $\{O_i\}$ 的x軸都垂直于 $Axi{s}_i$，也就是 $Axi{s}_i$ 是異面直線 $x_{i?1}$ 和 $x_i$ 的公垂線。

??圖1中單右斜杠對(duì)應(yīng)的兩條直線平行，那么 ${\theta }_i$ 對(duì)應(yīng)的就是直線 $x_{i?1}$ 和 $x_i$ 的夾角。因此我們定義 $\{O_{i?1}\}$ 和 $\{O_i\}$ 的x軸夾角為連桿轉(zhuǎn)角 ${\theta }_i$。

圖1. DH參數(shù)

??我們發(fā)現(xiàn) $\{O_{i?1}\}$ 沿 $Axi{s}_i$（即 $\{O_{i?1}\}$ 的z軸）旋轉(zhuǎn) ${\theta }_i$ 后 $\{O_{i?1}\}$ 和 $\{O_i\}$ 的x軸平行了！我們定義 $\{O_{i?1}\}$ 和 $\{O_i\}$ 的x軸之間的公垂線長(zhǎng)度為連桿偏距 $d_i$。

??我們發(fā)現(xiàn) $\{O_{i?1}\}$ 沿著 $Axi{s}_i$ 旋轉(zhuǎn) ${\theta }_i$，再沿著新坐標(biāo)系的z軸（其實(shí)還是 $Axi{s}_i$，因?yàn)榍懊娴男D(zhuǎn)是繞著z軸的，因此z軸方向不會(huì)改變）平移 $d_i$，之后你會(huì)發(fā)現(xiàn)新的坐標(biāo)系和 $\{O_i\}$ 的x軸已經(jīng)完全重合了！！

??更進(jìn)一步，再將新坐標(biāo)系沿著其x軸旋轉(zhuǎn) ${\alpha }_i$ 角，我們發(fā)現(xiàn)新坐標(biāo)系和 $\{O_i\}$ 不僅x軸重合，而且z軸平行了！！！那么如果再沿著x軸平移 $a_i$ 呢？沒錯(cuò)兩個(gè)坐標(biāo)系這時(shí)候完全重合！！！！

??以上描述的過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是：$${}^{i?1}{\text{T}}_i=ro{t}_z\left({\theta }_i\right)tran{s}_z\left(d_i\right)ro{t}_x\left({\alpha }_i\right)tran{s}_x\left(a_i\right)$$

??這個(gè)變換矩陣可以將 $\{O_i\}$ 中的點(diǎn)映射到 $\{O_{i?1}\}$！有一點(diǎn)需要注意沿同一軸連續(xù)的平移和旋轉(zhuǎn)是可以交換位置的，這一點(diǎn)大家從幾何的角度思考一下就不難發(fā)現(xiàn)，因此沿z的平移和旋轉(zhuǎn)可交換，沿x軸的平移和旋轉(zhuǎn)可交換。

4. 解決問題

??到這里我們終于可以解決前面提到的關(guān)于機(jī)器人末端點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)的問題了。方法很簡(jiǎn)單，就是在每個(gè)連桿上都建立一個(gè)坐標(biāo)系，然后用前面提到的變換關(guān)系找到相鄰連桿之間的變換關(guān)系，這樣問題就迎刃而解了。如下圖所示就是在SCARA機(jī)器人的各個(gè)連桿上建立的坐標(biāo)系，為了便于觀察添加了一些輔助線。

??在利用DH參數(shù)進(jìn)行機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)我們習(xí)慣上列寫DH參數(shù)表。有了參數(shù)表后我們就已經(jīng)從機(jī)器人中抽象出了數(shù)學(xué)模型。有人說高手眼中沒有機(jī)器人，只有坐標(biāo)系大概就是這種感覺吧。我們把這個(gè)機(jī)器人的參數(shù)列成如下的表格。（依然請(qǐng)各位牢記DH參數(shù)中\(zhòng)theta代表兩個(gè)x軸夾角，d代表兩個(gè)x軸的公垂線長(zhǎng)度，\alpha代表兩個(gè)z軸夾角，a代表兩個(gè)z軸的公垂線長(zhǎng)度）

SCARA DH參數(shù) 連桿編號(hào)$\theta$$d$$\alpha$$a$

1	${\theta }_1$	$d_1$	$0$	$l_1$
2	${\theta }_2$	$0$	$0$	$l_2$
3	0	$d_3$	0	0
4	${\theta }_4$	0	0	0

??DH參數(shù)表到這里就算是建立完成了，SCARA機(jī)器人第三軸是平移關(guān)節(jié)，DH參數(shù)表中的變量為 ${\theta }_1$，${\theta }_2$，$d_3$，${\theta }_4$，其余參數(shù)均為固定值。還記得我們?cè)?.2.2介紹的變換關(guān)系嗎？每相鄰兩個(gè)連桿之間的關(guān)系都可以用這個(gè)變換加以描述。因此我們可以找到：$${}^0{\text{T}}_1=ro{t}_z\left({\theta }_1\right)tran{s}_z\left(d_1\right)tran{s}_x\left(l_1\right)$$

$${}^1{\text{T}}_2=ro{t}_z\left({\theta }_2\right)tran{s}_x\left(l_2\right)$$

$${}^2{\text{T}}_3=tran{s}_z\left(d_3\right)$$

$${}^3{\text{T}}_4=ro{t}_z\left({\theta }_4\right)$$

??我們要求的 $P$ 點(diǎn)是不是就是坐標(biāo)系{4}的原點(diǎn)呢？它在基坐標(biāo)系下如下表示呢？很簡(jiǎn)單把所有變換迭乘就可以了：$$P^0{=}^0{\text{T}}_1{?}^1{\text{T}}_2{?}^2{\text{T}}_3{?}^3{\text{T}}_4??\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}?$$

??因此當(dāng)我們測(cè)量到DH參數(shù)中各個(gè)變量的值以及已知機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)，只需要代入到上面的方程中，就可以求解末端點(diǎn) $P$ 在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

5. 總結(jié)

??這篇文章我們介紹了DH參數(shù)以及其物理意義，有些特殊的連桿如何建立坐標(biāo)系沒有進(jìn)行相關(guān)介紹，比如連桿兩個(gè)軸線平行/相交時(shí)如何建立坐標(biāo)系。建立DH坐標(biāo)系有哪些小技巧，這些我們將在下一篇文章進(jìn)行討論。

??由于個(gè)人能力有限，所述內(nèi)容難免存在疏漏，歡迎指出，歡迎討論。

下一篇：機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)（8）—— DH坐標(biāo)系建立技巧
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器人正运动学（7）—— 连杆坐标系与DH参数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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