遼寧工程技術大學

數 學 建 模 課 程 成 績 評 定 表

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預測

數學建模

一階常微分方程模型—人口模型與預測

一．摘要：

二．模型的背景問題描述

三．模型假設

四.分析與建立模型

下表列出了中國1982-1998年的人口統計數據，取1982年為起始年(t?0)，

N0?101654萬人，Nm?200000萬人。

要求：(1)建立中國人口的指數增長模型，并用該模型進行預測，與實際人口數據進行比較。

(2)建立中國人口的Logistic模型，并用該模型進行預測，與實際人口數據進行比較。

(3)利用MATLAB圖形，標出中國人口的實際統計數據，并畫出兩種模型的預測曲線。

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預測

(4)利用MATLAB圖形，畫出兩種預測模型的誤差比較圖，并分別標出其誤差。

模型一：指數增長模型(馬爾薩斯(Malthus)模型)

假設：人口凈增長率r是一常數

符號：x(t)??t時刻時的人口，可微函數x0??t?0時的人口 則r?

x(t??t)?x(t)

x(t)?t

?dx

于是x(t)滿足如下微分方程：??dt?rx

??x(0)?x0解為：x(t)?x0ert 模型二：Logistic模型

人口凈增長率應當與人口數量有關，即： r=r(x)

?dx

從而有：??dt?r(x)x

??

x(0)?x0對馬爾薩斯模型引入一次項(競爭項)，令 r(x)=r-ax 此時得到微分方程：

dxdt?(r?ax)x或dxdt?r(1?x

x)x m

可改寫成：

dxdt?rx(xm?x)x m

分離變量：??1?1?

x?dx?rdt

?xm?x?兩邊積分并整理得： x?

xm

1?Ce

?rt

令x(0)=xxm?x00，求得： C?

x?xm

x?1 00

滿足初始條件x(0)=xxm

0的解為： x(t)?

1?(x

m?1)e?rt

x0

數學建模

易見： limx(t)?xm

t???

五．模型的求解

1、運行結果

p = 0.0131 11.5342

y?0.0131t?11.5342

?lnx0?11.5342?x0?102150.2451 ?x(t)?102150.24514e0.0131t

預測公式預測1991--1998年的人口數量可得，1998年的由指數增長模型預測出的人口數于實際人口數相差最小，而其他年份的真實值與預測值之間有差別：

由1991年開始，指數增長模型預測的結果很好的反映了實際情況。按此模型預測現在中國人口已超過13億，到2016年中國人口將超過15億。我們看到，盡管中國出臺了計劃生育的措施，但中國近幾年仍處于高生育期，按指數增長模型預測的結果均比實際人口要多一些。同時由于中國人口調控政策比較得力，中國人口的自然增長率在逐年下降，雖仍有一定誤差，但仍基本顯示了1991--1998年的人口增長的趨勢。

2、運行結果

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預測

如圖所示：

圈： 人口的實際統計數據

紅線：人口的指數增長曲線

x(t)=x0ert(x0=101654(1982人口)，r=0.01116)

藍綠線：人口的Logistic增長曲線 N(t)=Nm/(1+(Nm/N0-1)e-r*(t-t0))

(Nm=200000(萬),N0==101654(萬)(1982人口))

由預測公式預測1991--1998年的人口數量可得，1998年的由Logistic模型預測出的人口數于實際人口數相差最小，而其他年份的真實值與預測值之間有差別：

數學建模

當人口數的初始值N0>Nm時，人口曲線(虛線)單調遞減，而當人口數的初始值N0∞，它們皆趨于極限值Nm。

六. 模型的檢驗

1、matlab源程序

%以1982-1998年共計17個數據為例進行擬合： t=0:16; %輸入數據

s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; y=log(s); p=polyfit(t,y,1)

2、matlab源程序 t=0:16;

s=101654*(1+0.0131).^t; plot(t,s,'r') hold on t=0:16;

趙常新 魏文楷 潘洋 一階常微分方程模型—人口模型與預測

s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; plot(t,s,'o') hold on t=0:16;

s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t)); plot(t,s,'c')

七．模型的應用與推廣

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數學模型有相同的微分方程即可。

參考文獻

[1 ] 張亮忠. 數字測圖技術 [M]. 南京:建筑出版社, 1991.

附錄

總結

以上是生活随笔為你收集整理的宋健人口模型 matlab,一阶常微分方程模型-人口模型与预测的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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