文章目錄

• • 運行軟件：MATLAB R2012a
  • 實驗數據
  • 指數增長模型
  • • 指數增長模型：方法一
    • • 對2010年的人口預測
    • 指數增長模型：方法二
    • • 對2010年人口預測
  • 改進的指數增長模型
  • • • 對2010人口預測
  • 邏輯斯蒂(logistic)模型
  • • 邏輯斯蒂(logistic)模型：方法一
    • • 對2010預測
    • 邏輯斯蒂(logistic)模型：方法二
    • • 對2010預測

運行軟件：MATLAB R2012a

實驗數據

年份17901800181018201830184018501860

人口/百萬	3.9	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4
增長率/10年	0.2949	0.3113	0.2986	0.2969	0.2907	0.3012	0.3082	0.2452

年份18701880189019001910192019301940

人口/百萬	38.6	50.2	62.9	76.0	92.0	105.7	122.8	131.7
增長率/10年	0.2435	0.2420	0.2051	0.1914	0.1614	0.1457	0.1059	0.1059

年份1950196019701980199020002010

人口/百萬	150.7	179.3	203.2	226.5	248.7	281.4	308.7
增長率/10年	0.1579	0.1464	0.1161	0.1004	0.1104	0.1349

指數增長模型

滿足人口增長的微分方程和初始條件為：

利用函數dsolve()可得：

指數增長模型：方法一

根據已知數據對模型的參數進行估計又稱為數據擬合。
對下面的這個公式同時取對數

可得

t：代表年份1970取0，依次類推
x：人口數量，實驗數據已知
根據求出的公式可以求出y；然后利用polyfit()函數求出r，a的值；當a求出來時，根據上面求出的公式，可以求出x0；將r，x0帶入公式
可求出指數增長模型方法一的x值

代碼如下：
使用的是matlb函數

function [ x1 ] = method_1( x ) %方法一：直接用人口數據和線性最小二乘法 % 利用函數polyfit（），dsolve()求解，r年增長率,返回x1模型的估計值y=log(x);t=0:1:21;p=polyfit(t,y,1);r=p(1);a=p(2);x0=exp(a);s=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t');x1=eval(s);x1=x1'; end

運行代碼：

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x);

運行界面：

運行結果：第一列代表年份；第二列代表實際人口；第三列為指數增長模型：方法一的預估值

對2010年的人口預測

根據上面算出的結果，可以得到：r=0.2020 x0=6.0496
直接利用算出來的參數計算2020年的結果（t=22）
運行代碼：

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; >> y=log(x);t=0:1:21;p=polyfit(t,y,1);r=p(1);a=p(2);x0=exp(a);%若要預測2010年的人口對t進行更改t=0:1:22;s=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t'); >> t=22; >> eval(s)

運行結果：

指數增長模型：方法二

先對人口數據進行數值微分，再計算增長率并將其平均值作為 的估計； 直接取原始數據。
公式：

先求rk，再求出r，再根據公式
求出模型的預估值
代碼如下：
我是以函數文件運行：

function [ x2 ] = method_2( x ) %方法二：先對人口數據作數值微分，再計算增長率并將其平均值作為r的估計；x0直接采用原數據n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; r=sum(rk)/n; x2=zeros(n,1); x2(1)=x(1); for i=1:n x2(i)=x2(1)*exp(r*t(i)); endend

運行代碼

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x);m(:,4)=method_2(x);

運行界面：

運行結果：第一列代表年份；第二列代表實際人口；第三列為指數增長模型：方法一的預估值；第四列為指數增長模型：方法二的預估值

對2010年人口預測

已經求得r與x0代碼：

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; r=sum(rk)/n; x2=zeros(n,1); x2(1)=x(1); >> t=22; >> x2(1)*exp(r*t)

運行結果：

改進的指數增長模型

指數增長模型進行改進。改進為：
假設：


利用dsolve()函數可得：

已知t值，根據上面我們已經求過了rk，所以rk也是已知的，然后利用最小二乘法polyfit()函數計算出
中的r0和r1，x0=3.9，利用eval()函數求出結果
運行代碼：
函數：

function [ x3 ] =method_3( x ) %方法三：改進的指數增長模型 % Detailed explanation goes here n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; p=polyfit(t,rk,1); r0=p(2); r1=-p(1); s=dsolve('Dx=(r0-r1*t)*x','x(0)=x0','t'); x0=3.9; x3=zeros(n,1); x3=eval(s); x3=x3'; end

運行代碼：

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x); m(:,4)=method_2(x);m(:,5)=method_3(x);

運行界面：

運行結果：第一列代表年份；第二列代表實際人口；第三列為指數增長模型：方法一的預估值；第四列為指數增長模型：方法二的預估值；第五列改進指數模型的預估值

對2010人口預測

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; >> n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; p=polyfit(t,rk,1); r0=p(2); r1=-p(1); s=dsolve('Dx=(r0-r1*t)*x','x(0)=x0','t'); x0=3.9; >> t=22; >> eval(s)

運行結果：

邏輯斯蒂(logistic)模型

xm：表示人口容量
有了人口容量的限制，當人口數量增加時，增長率r減小，用
表示。

當x=0時，r(0)=r，則a=r

當x=xm時，此時人口不再增長，增長率r=0，于是：b=-r/x0

邏輯斯蒂(logistic)模型：方法一

開勇函數dsolve()求解可得


代碼如下：函數

function [ x4 ] = logistic_1( x ) %邏輯斯蒂模型方法一 n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; p=polyfit(x,rk,1); b=p(1); a=p(2); r=a; xm=-r/b; s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t'); x0=3.9; x4=eval(s); x4=x4'; x4=abs(x4); end

運行代碼：

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x); m(:,4)=method_2(x); m(:,5)=method_3(x); m(:,6)=logistic_1(x);

運行界面：

運行結果：第一列代表年份；第二列代表實際人口；第三列為指數增長模型：方法一的預估值；第四列為指數增長模型：方法二的預估值；第五列改進指數模型的預估值；第六列邏輯斯蒂方法一預估值

對2010預測

代碼：

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; >> n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; p=polyfit(x,rk,1); b=p(1); a=p(2); r=a; xm=-r/b; s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t'); x0=3.9; >> t=22; >> eval(s)

運行結果：如果出現結果有復數，對結果進行轉換，如下圖

邏輯斯蒂(logistic)模型：方法二

直接用數據和非線性最小而成估計參數：
運行代碼：

function [ x5 ] = logistic_2( x ) %邏輯斯蒂模型方法二n=length(x); t=0:1:n-1;f=@(a,t)a(1)./(1+(a(1)./a(2)-1).*exp(-a(3).*t));[A,cancha]=lsqcurvefit(f,[500,3.9,0.3],t,x);s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t'); r=A(3); x0=A(2); xm=A(1); x5=eval(s); x5=x5'; x5=abs(x5); end

運行代碼：

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x); m(:,4)=method_2(x); m(:,5)=method_3(x); m(:,6)=logistic_1(x); m(:,7)=logistic_2(x);

運行界面：

運行結果：第一列代表年份；第二列代表實際人口；第三列為指數增長模型：方法一的預估值；第四列為指數增長模型：方法二的預估值；第五列改進指數模型的預估值；第六列邏輯斯蒂方法一預估值；第七列邏輯斯蒂方法二預估值

對2010預測

代碼：

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; >> n=length(x); t=0:1:n-1;f=@(a,t)a(1)./(1+(a(1)./a(2)-1).*exp(-a(3).*t));[A,cancha]=lsqcurvefit(f,[500,3.9,0.3],t,x);s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t'); r=A(3); x0=A(2); xm=A(1); >> t=22; >> eval(s)

運行結果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模——人口增长模型的matlab实现以及对2010年人口预测的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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