目錄

• • 一.Malthus模型（指數(shù)模型）
  • • （1）提出以及假設(shè)
    • （2）影響人口增長的因素
    • （3）建立模型
    • （4）結(jié)論
    • （5）舉例（Matlab代碼）
  • 二.Logistic模型（阻滯增長模型）
  • • （1）背景
    • （2）建立 r 的關(guān)系式
    • （3）模型建立
    • （4）結(jié)論
    • （5）舉例（Matlab代碼）
  • 三.總結(jié)

一.Malthus模型（指數(shù)模型）

（1）提出以及假設(shè)

指數(shù)增長模型，由馬爾薩斯在1798年提出

基本假設(shè)：人口（相對）增長率r是常數(shù)（r很小）
相對增長率 = 出生率 － 死亡率

（2）影響人口增長的因素

人口的基數(shù)
出生率和死亡率
年齡結(jié)構(gòu)
性別比例
工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平
醫(yī)療水平
政府出臺的政策
民族政策
…

（3）建立模型

我們用 x(t) 表示 t 時刻的人口

那么有 $$x(t+△t)?x(t)=rx(t)△t$$ (其中x為人口基數(shù))

所以 $$\frac{(x(t+△t)?x(t))}{△t}=rx(t)$$

根據(jù)高數(shù)知識，求得 $$\frac{dx}{dt}=rx,x(0)=x_0$$

求得：$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$

結(jié)論：隨著時間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長

（4）結(jié)論

可以進(jìn)行短期的人口預(yù)測，較為符合
但是之后誤差就很大了

（5）舉例（Matlab代碼）

eg：已知一組數(shù)據(jù)如下：

t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900];
p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];
t為年份，p為對應(yīng)的人口數(shù)量，單位為：百萬

因為馬爾薩斯模型為指數(shù)函數(shù)為了線性擬合數(shù)據(jù)，我們對其進(jìn)行如下操作：

兩邊同時取對數(shù)：

可得：$$ln(x)=ln(x_0)+rt$$

t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900]; p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0]; y = log(p); %求ln(p)函數(shù)值 a = polyfit(t,y,1) %用一次多項式對t和y進(jìn)行擬合 z = polyval(a,t); %求得以a為系數(shù)的多項式在t處的函數(shù)值 z1 = exp(z) r = a(1) plot(t,p,'bo',t,z1,'r') %分別畫出散點圖以及擬合曲線圖 xlabel('時間'); ylabel('人口數(shù)量'); legend('實際數(shù)據(jù)','理論曲線');

作圖如下（短期內(nèi)基本吻合）：

輸出結(jié)果如下：

%結(jié)果如下，增長率r=0.0274 a =0.0274 -47.6717z1 =列 1 至 54.1884 5.5105 7.2498 9.5382 12.5488列 6 至 1016.5097 21.7209 28.5769 37.5969 49.4640列 11 至 1265.0769 85.6179r =0.0274

$當(dāng)我們用更多的數(shù)據(jù)進(jìn)行長期擬合是就會發(fā)現(xiàn)該方法做出來的差別較大！$

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二.Logistic模型（阻滯增長模型）

（1）背景

由于人口不可能無限制的增長，當(dāng)人口達(dá)到一定數(shù)量后，那么增長率就會下降。
我們要模擬這種增長率的變化
這里簡化的將增長率 r 看做是人口 x 的減函數(shù)

（2）建立 r 的關(guān)系式

假設(shè)$r(x)=r?sx(r,s>0)$ 當(dāng)x很小時，r仍為固有增長率，s為待求系數(shù)

x_m 是當(dāng)前環(huán)境可以容納的最大人口容量

$$r(x_m)=0??>s=\frac{r}{x_m}??>r(x)=r(1?\frac{x}{x_m})$$

（3）模型建立

指數(shù)增長模型：$$\frac{dx}{dt}=rx$$

所以 $$\frac{dx}{dt}=r(x)x=rx(1?\frac{x}{x_m})$$

最終得到：$$x(t)=\frac{x_m}{(1+(\frac{x_m}{x_0}?1)e^{?rt})}$$

（4）結(jié)論

最終得到 s 型增長曲線，x增長先快后慢，最終接近峰值 x_m

該模型同樣可以用于種群數(shù)量中（魚群的捕撈要控制在 x_m/2 附近，而害蟲的防治要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于 x_m / 2）

（5）舉例（Matlab代碼）

已知一組數(shù)據(jù)同上：
t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900];
p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];
t為年份，p為對應(yīng)的人口數(shù)量，單位為：百萬

$我們使用非線性擬合法來計算參數(shù)r以及x_m$

下面代碼由兩個文件構(gòu)成：

$?$ 主函數(shù)文件（腳本文件）

%代碼如下 t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990]; p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; t = t-1780; %整體減去1780 x0 = [150,0.15]; %待定參數(shù)x的初值（自己根據(jù)實際情況給出初值，之后再不斷調(diào)整；其中第一個參數(shù)為最大人口數(shù)，第二個參數(shù)為人口增長率） x = lsqcurvefit('population',x0,t,p) %使用函數(shù)求得最終的（xm，r） p1 = population(x,t); plot(t+1780,p,'o',t+1780,p1,'-r*') title('Logistic模型擬合圖') xlabel('年'); ylabel('人口數(shù)'); legend('實際數(shù)據(jù)','理論數(shù)據(jù)')

$?$ 函數(shù)m文件(注意文件名稱與函數(shù)名稱相同)

%population.m函數(shù)文件 function g = population(x,t) %UNTITLED2 此處顯示有關(guān)此函數(shù)的摘要 % 此處顯示詳細(xì)說明 g = x(1)./(1+(x(1)/3.9-1)*exp(-x(2)*t)); %這里的公式代入的是3.9，也就是初始數(shù)據(jù)，根據(jù)自己的初值進(jìn)行修改 end

如圖所示兩個文件：

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$作圖如下：$

$結(jié)果如下：$

%第一個參數(shù)為 Xm，第二個參數(shù)為 r x =337.4308 0.0257

三.總結(jié)

Malthus 和 Logistic 均為宏觀模型，它們考慮的方面比較少。而且不考慮年齡分布。

以下的微觀模型考慮年齡結(jié)構(gòu)
$?$ Leslie差分方程模型
$?$ Verhulst偏微分方程模型
$?$ Pollard隨機(jī)方程模型

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的人口模型（Malthus+Logistic）附Matlab代码的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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