原文：https://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355?
在數學應用上，對于運動引起的圖像模糊，最簡單的方法是直接做逆濾波，但是逆濾波對加性噪聲特別敏感，使得恢復的圖像幾乎不可用。最小均方差（維納）濾波用來去除含有噪聲的模糊圖像，其目標是找到未污染圖像的一個估計，使它們之間的均方差最小，可以去除噪聲，同時清晰化模糊圖像。

定義
給定一個系統?
y(t)=h(t)?x(t)+n(t)
y(t)=h(t)?x(t)+n(t)

這里，??是卷積符號
x(t)x(t)是在時間tt刻輸入的信號（未知）
h(t)h(t)是一個線性時間不變系統的脈沖響應（已知）
n(t)n(t)是加性噪聲，與x(t)x(t)不相關（未知）
y(t)y(t)是我們觀察到的信號?
我們的目標是找出這樣的卷積函數g(t)g(t)，這樣我們可以如下得到估計的x(t)x(t)：?
x^(t)=g(t)?y(t)
x^(t)=g(t)?y(t)

這里x^(t)x^(t)是x(t)x(t)的最小均方差估計。?
基于這種誤差度量， 濾波器可以在頻率域如下描述?
G(f)=H?(f)S(f)|H(f)|2S(f)+N(f)=H?(f)|H(f)|2+N(f)/S(f)
G(f)=H?(f)S(f)|H(f)|2S(f)+N(f)=H?(f)|H(f)|2+N(f)/S(f)

這里：
G(f)G(f)和H(f)H(f)是gg和hh在頻率域ff的傅里葉變換。
S(f)S(f)是輸入信號x(t)x(t)的功率譜。
N(f)N(f)是噪聲的n(t)n(t)的功率譜。
上標??代表復數共軛。?
濾波過程可以在頻率域完成：?
X^(f)=G(f)?Y(f)
X^(f)=G(f)?Y(f)

這里 X^(f)X^(f)是 x^(t)x^(t)的傅里葉變換，通過逆傅里葉變化可以得到去卷積后的結果x^(t)x^(t)。
解釋
上面的式子可以改寫成更為清晰的形式?
G(f)=1H(f)???|H(f)|2|H(f)|2+N(f)S(f)???=1H(f)???|H(f)|2|H(f)|2+1SNR(f)???
G(f)=1H(f)[|H(f)|2|H(f)|2+N(f)S(f)]=1H(f)[|H(f)|2|H(f)|2+1SNR(f)]

這里H(f)H(f)是hh在頻率域ff的傅里葉變換。SNR(f)=S(f)/N(f)SNR(f)=S(f)/N(f)是信號噪聲比。當噪聲為零時（即信噪比趨近于無窮），方括號內各項也就等于1，意味著此時刻維納濾波也就簡化成逆濾波過程。但是當噪聲增加時，信噪比降低，方括號里面值也跟著降低。這說明，維納濾波的帶通頻率依賴于信噪比。
推導
上面直接給出了維納濾波的表達式，接下來介紹推導過程。?
上面提到，維納濾波是建立在最小均方差，可以如下表示：?
e(f)=E|X(f)?X^(f)|2
e(f)=E|X(f)?X^(f)|2

這里EE是期望?
如果我們替換表達式中的X^(f)X^(f)，上面可以重新組合成?
e(f)=E|X(f)?G(f)Y(f)|2=E|X(f)?G(f)[H(f)X(f)+V(f)]|2=E|[1?G(f)H(f)]X(f)?G(f)V(f)|2
e(f)=E|X(f)?G(f)Y(f)|2=E|X(f)?G(f)[H(f)X(f)+V(f)]|2=E|[1?G(f)H(f)]X(f)?G(f)V(f)|2

展開二次方，得到下式：?
e(f)=[1?G(f)H(f)][1?G(f)H(f)]?E|X(f)|2?[1?G(f)H(f)]G?(f)E{X(f)V?(f)}?G(f)[1?G(f)H(f)]?E{V(f)X?(f)}+G(f)G?(f)E|V(f)|2
e(f)=[1?G(f)H(f)][1?G(f)H(f)]?E|X(f)|2?[1?G(f)H(f)]G?(f)E{X(f)V?(f)}?G(f)[1?G(f)H(f)]?E{V(f)X?(f)}+G(f)G?(f)E|V(f)|2

然而，我們假設噪聲與信號獨立無關，這樣有?
E{X(f)V?(f)}=E{V(f)X?(f)}=0
E{X(f)V?(f)}=E{V(f)X?(f)}=0

并且我們如下定義功率譜?
S(f)=E|X(f)|2N(f)=E|V(f)|2
S(f)=E|X(f)|2N(f)=E|V(f)|2

這樣我們有?
e(f)=[1?G(f)H(f)][1?G(f)H(f)]?S(f)+G(f)G?(f)N(f)
e(f)=[1?G(f)H(f)][1?G(f)H(f)]?S(f)+G(f)G?(f)N(f)

為了得到最小值，我們對G(f)G(f)求導，令方程等于零。?
d(f)dG(f)=G?(f)N(f)?H(f)[1?G(f)H(f)]?S(f)=0
d(f)dG(f)=G?(f)N(f)?H(f)[1?G(f)H(f)]?S(f)=0

由此最終推出維納濾波器。
測試
Matlab自帶了示例程序，如下

%Read image
I = im2double(imread('cameraman.tif'));
figure,subplot(2,3,1),imshow(I);
title('Original Image (courtesy of MIT)');

%Simulate a motion blur
LEN = 21;
THETA = 11;
PSF = fspecial('motion', LEN, THETA);
blurred = imfilter(I, PSF, 'conv', 'circular');
subplot(2,3,2),imshow(blurred);
title('Blurred Image');

%Restore the blurred image
wnr1 = deconvwnr(blurred, PSF, 0);
subplot(2,3,3),imshow(wnr1);
title('Restored Image');

%Simulate blur and noise
noise_mean = 0;
noise_var = 0.0001;
blurred_noisy = imnoise(blurred, 'gaussian', ...
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? noise_mean, noise_var);
subplot(2,3,4),imshow(blurred_noisy)
title('Simulate Blur and Noise')

%Restore the blurred and noisy image:First attempt
wnr2 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, 0);
subplot(2,3,5);imshow(wnr2);title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using NSR = 0')

%Restore the Blurred and Noisy Image: Second Attempt
signal_var = var(I(:));
wnr3 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, noise_var / signal_var);
subplot(2,3,6),imshow(wnr3)
title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using Estimated NSR');

維納濾波需要估計圖像的信噪比(SNR)或者噪信比(NSR)，信號的功率譜使用圖像的方差近似估計，噪聲分布是已知的。從第一排中可以看出，若無噪聲，此時維納濾波相當于逆濾波，恢復運動模糊效果是極好的。從第二排可以看出噪信比估計的準確性對圖像影響比較大的，二排中間效果幾乎不可用。

參考閱讀
http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_deconvolution 英文維基百科?
http://www.owlnet.rice.edu/~elec539/Projects99/BACH/proj2/wiener.html 萊斯大學的項目資料

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作者?? ?日期?? ?聯系方式
風吹夏天?? ?2015年5月29日?? ?wincoder@qq.com

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作者：風吹夏天?
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原文：https://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355?
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總結

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