$E$的內(nèi)部$E^{°}$ 是包含于$E$的最大開集；$E$的閉包$\bar{E}$ 是包含$E$的最小閉集。
設(shè)開集$B?E$，任取$b\in B$，存在$b$的鄰域$U?B?E$，這表明$b$為$E$的內(nèi)點(diǎn)。故$B?E^{°}$
設(shè)閉集$F?E$，任取$a\in \bar{E}$，設(shè)$a$為$\{x_i\}$的極限點(diǎn)，而$\{x_i\}$也為$F$中的點(diǎn)列，由$F$為閉集知$a\in F$。故$\bar{E}?F$
2.
求證 $\bar{S}=S??S$。
任意的$x\in ?S$，$x$的任意鄰域中都有$S$中的點(diǎn)，故$x$為$S$的極限點(diǎn)，那么有$?S?\bar{S}$，故$S??S?\bar{S}$。
對于任意的$x\in \bar{S}$，若$x$不為$S$中的點(diǎn)，那么$x$的任意鄰域中都有$S$中的點(diǎn)（$x$為$S$極限點(diǎn)）。且$x$的任意鄰域中也有有$S^c$中的點(diǎn)($x$自身就是）。故$x$為$S$邊界點(diǎn)。故$\bar{S}?S??S$
3.
求證 $?S=\bar{S}?S^{°}$
由2，只要證明$S^{°}??S=S??S$。只要證$S?S^{°}??S$。兩邊取余集，并注意到$S$的外部即為$S$余集的內(nèi)部即得。
4.
設(shè)$E$為${\text{R}}^n$子集，$x\in {\text{R}}^n$，
$$d(x,E)=in{f}_{y\in E}d(x,y).$$
求證$d(x,E)$在${\text{R}}^n$上一致連續(xù)。
對于$a,b\in {\text{R}}^n$，任意$\epsilon >0$，均存在$b^{\prime }\in E$，使得$d(b,E)>d(b,b^{\prime })?\epsilon$。且有$d(a,E)\le d(a,b^{\prime })$。那么
$$d(a,E)?d(b,E)<d(a,b^{\prime })?(d(b,b^{\prime })?\epsilon )<d(a,b)+\epsilon$$
令$\epsilon$趨于零，即有$d(a,E)?d(b,E)<d(a,b)$。同理可得$d(b,E)?d(a,E)<d(a,b)$。
即$$|d(a,E)?d(b,E)|<d(a,b)$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学分析习题2的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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