1.Gardner 算法簡介

????????Gardner 算法是一種非數據輔助，實現復雜度低，廣泛應用于實際工程中的一種定時誤差檢測算法。Gardner 算法具有如下特點：

1). 工作于2倍采樣率，每個碼元需要兩個采樣點；

2). 適用于BPSK(NRZ)/QPSK 基帶或通帶系統。在通帶系統中，Gardner 算法與載波相位無關；

3). 適用于具有40%~100%的額外帶寬(相對于奈奎斯特帶寬)的信號系統。

2. Gardner 算法的基本原理

????????應用于QPSK系統的Gardner算法框圖如圖1所示。對于BPSK系統，Q路輸出為0。圖示1中的定時誤差檢測即采用的Gardner 算法。

圖示 1

????????假設符號發送間隔為T，接收端采樣時間間隔為T/2，則采樣率為fs = 2/T。系統奈奎斯特帶寬為B。則有 fs = 4B。 記采樣時刻為 (0,1),(2,3)...,(r-1,r-1/2), (r,r+1/2),...，則Gardner 算法鑒相誤差輸出為：

? ? ? ?? ? ? ? (1)

其中yi表示圖示1中的I路輸出，yq表示Q路輸出。r表示第r個接收碼元，(r-1, r -1/2) 表示一個碼元的兩個連續采樣點。對于BPSK系統，yq輸出為0。

實現電路圖如圖2所示：

圖示 2

?2.1 從公式(1)對Gardner算法的直觀理解

圖示 3

????????如圖3所示，在碼元類型發生變化時(比如從1 到 -1)，如果采樣時間沒有偏差，中間采樣點的值y(r-1/2)，在時間平均上應該為0。若不為0，說明有采樣偏差，其絕對值大小 |y(r-1/2)| 提供了采樣偏差的大小，其正負符號 sign(y(r-1/2)) 只能提供一半的采樣超前或者滯后的方位信息，無法區分圖是3中(b或c)中碼元由1到-1轉變或者-1到1的轉變。而y(r) - y(r-1)的差值提供了另一半的方位信息。兩者結合就能區分圖示3中(b)和(c)所示的4種情況。在實際工程中，也常用sign(y(r) - y(r-1))替代y(r) - y(r-1)。好處在于節省了乘法運算和規避了噪聲對y(r) - y(r-1)的影響。

2.2 從Gardner鑒相器的S曲線理解Gardner算法

? ? ? ? 考慮 NRZ 基帶系統，假設圖示1中的接收信號為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)

其中?表示NRZ序列，g(t)表示從發送到接收的系統時域沖激響應，T表示單個碼元持續時間。

假設采樣時刻為?表示基帶采樣時刻，g(t) 的頻域響應為G(f)。Gardner 推導出公式(1)中，鑒相誤差u(r)期望的另外一種數學表達式(即Gardner鑒相器的S曲線表達式)：

? ? ? ? ? ?(3)? ?

上式中，Gardner 假設兩倍奈奎斯特以外的頻帶為0。從(3)式可以看出Gardner鑒相器的S曲線與采樣時刻的關系為正弦曲線。在碼元持續時間T固定的情況下，鑒相靈敏度取決于(3)式中的積分式，確切的說，取決于系統響應G(f)。如下圖所示：

圖示 4

????????僅當G(f) 和 G(1/T - f) 有交疊的時候，G(f) *?G(1/T - f) 才不為0。根據采樣定理，我們知道，當以1/T的采樣率進行采樣時，奈奎斯特以外的頻帶必然會發生混疊，即能保證G(f) 和 G(1/T - f) 有交疊。從圖中我們可以看出，系統頻域響應G(f) 帶外頻譜越大，G(f) *?G(1/T - f)越大，鑒相靈敏度越高。假設，G(f) 為升余弦滾降成型的頻譜函數，則不同滾降系數a下的Gardner算法 S 曲線如下圖所示：

圖示 5

? ? ? ? ?當a = 0時，系統響應為理想低通響應，此時鑒相器無法提取出定時誤差；

? ? ? ? ?當 a = 0.99時，G(f)帶外頻譜很大，鑒相器相對靈敏。

? ? ? ? ?通常，Gardner算法適用于具有40%~100%的額外帶寬的系統。

【參考文獻】

[1] M.Gardner. A BPSK/QPSK timing-error detector for sampled receivers. IEEE Trans. Comm..

[2] 崔麗娜. 全數字接收機中的位同步技術研究[D]. 重慶大學.

思考題：

(1) 為什么Gardner算法和載波相位無關？

(2) 圖示4中G(f) 的交疊的本質是啥？為什么它會影響到Gardner算法S曲線的靈敏度？

(3)?Gardner算法 是否適用于更高階的調制系統？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字定时误差检测算法系列之 ———时域Gardner算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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