人工智能数学基础:利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值、最值和描绘函数图形
一、單調性判斷定理
定理:
設函數y=f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導。
(1)如果在(a,b)內f(x)≥0,且等號僅在有限多個點處成立,那么函數y=f(x)在[a,b]上單調增加;
(2)如果在(a,b)內f(x)≤0,且等號僅在有限多個點處成立,那么函數y=f(x)在[a,b]上單調減少。
證明思路:
利用拉格朗日中值公式,可以正得任意兩點的函數值差等于某點導數與兩點x值的差的乘積,因此x值的差決定了函數值的差的符號。
另外對于導數為0的點,將區間分成了2部分,每部分的單調性跟隨導數的值與自變量的差的值,這表明兩個區間的單調性遵循定理的要求,則兩個區間疊加后也會遵循。
二、曲線凹凸性判斷
1、凹凸性的判斷規則
函數曲線的上升或下降反映了函數的單調性,而曲線在上升或下降過程中,還存在一個彎曲方向的問題,如圖:
都是上升曲線,曲線ACB向上凸起,而ADB則向下彎曲。
曲線的凹凸性在幾何圖形上的描述:通過曲線上任取兩點,如果連接這兩點的直線(弦)總是位于這兩點曲線弧的上方,則曲線是向下彎曲(凹),如果弦總是位于曲線弧的上方,則曲線是向上凸的。
曲線的凹凸性函數形式的表達:
設f(x)在區間I上連續,如果對I上任意兩點x1、x2恒有:
那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧),如果恒有:
那么稱/(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)。
2、曲線凹凸性判斷定理
設f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內具有一階和二階導數,那么
(1)若在(a,b)內f”(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的;
(2)若在(a,b)內f”(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。
證明思路:
任取區間內兩點x1、x2,假設x2>x1,然后取x0=(x1+x2)/2,記h=x0-x1=x2-x0,分別對區間[x1,x0]、[x0,x2]應用柯西中值定理,得到的兩個式子相減后再應用柯西中值定理,如果函數f(x)的二階導數大于0,就可以得到:
三、極值
1、定義
設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義,如果對于去心鄰域U°(x0)內的任一x,有
f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),那么就稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值(或極小值)。
備注:去心鄰域實際的表示不是U°,而是在U上面一個小圈,但無法用文字輸入,因此老猿所有的博文都用了U°來表示,實際的符號應該是:
函數的極大值與極小值統稱為函數的極值,使函數取得極值的點稱為極值點。
函數的極大值和極小值概念是局部性的。如果f(x0)是函數f(x)的一個極大值,那是就x0附近的一個局部范圍來說,f(x0)是f(x)的一個最大值,如果就f(x)的整個定義域來說f(x0)不見得是最大值。關于極小值也類似。
在圖3-11中,函數f(x)有兩個極大值:f(x2)、f(x5),三個極小值:f(x1)、f(x4)、f(x6),其中極大值f(x2)比極小值f(x0)還小。就整個區間[a,b]來說,只有一個極小值f(x1)同時也是最小值,而沒有一個極大值是最大值。
2、定理1(必要條件)
定理:設函數f(x)在x0處可導,且在x0處取得極值,則f’(x0)=0。
定理1就是說:可導函數f(x)的極值點必定是它的駐點,但反過來,函數的駐點卻不一定是極值點。
例如,f(x)=x3的導數f’(x)=3x2,f’(0)=0,因此x=0是這可導函數的駐點,但x=0卻不是這函數的極值點。
所以,函數的駐點只是可能的極值點。此外,函數在它的導數不存在的點處也可能取得極值。
3、定理2(第一充分條件)
定理:設函數f(x)在x0處連續,且在x0的某去心鄰域U°(x0,δ)內可導。
(1)若x∈(x0-δ,x0)時,f’(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)時,f’(x)<0,則f(x)在x0處取得極大值;
(2)若x∈(x0-δ,x0)時,f’(x)<0,而x∈(x0,x0+δ)時,f’(x)>0,則f(x)在x0處取得極小值;
(3)若x∈U°(x0,δ)時,f’(x)的符號保持不變,則f(x)在x0處沒有極值。
定理2也可簡單地這樣說:當x在x0的鄰近漸增地經過x0時,如果f’(x)的符號由正變負,那么f(x)在x0處取得極大值;如果f(x)的符號由負變正,那么f(x)在x0處取得極小值;如果f’(x)的符號并不改變,那么f(x)在x0處沒有極值。
根據上面的兩個定理,如果函數f(x)在所討論的區間內連續,除個別點外處處可導,那么就可以按下列步驟來求f(x)在該區間內的極值點和相應的極值:
(1)求出導數f’(x);
(2)求出f(x)的全部駐點與不可導點;
(3)考察f’(x)的符號在每個駐點或不可導點的左、右鄰近的情形,以確定該點是否為極值點;如果是極值點,進一步確定是極大值點還是極小值點;
(4)求出各極值點的函數值,就得函數(x)的全部極值。
4、定理3(第二充分條件)
定理:設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0,f"(x0)≠0,則
(1)當f"(x0)<0時,函數f(x)在x0處取得極大值;
(2)當f”(x)>0時,函數f(x)在x0處取得極小值。
證明思路:
根據導數的定義有:
而f’(x0)=0,可以得到x在x0的足夠小的去心鄰域時,上式右邊不帶極限符號的表達式的運算結果的符號取決于f"(x0)的符號,也可以得出f’(x)的符號與x-x0的符號的關系,再結合定理2就可以證明上述結論。
定理3表明:
如果函數f(x)在駐點x0處的一階導數f’(x0)=0、二階導數f”(x0)≠0,那么該駐點x0一定是極值點,并且可以按二階導數f”(x0)的符號來判定f(x0)是極大值還是極小值。
但如果f"(x)=0,那么定理3就不能應用。事實上,當f’(x0)=0,f"(x)=0時(x)在x處可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒有極值。
例如,f(x)=-x4,f2(x)=x4,f3(x)=x3這三個函數在x=0處就分別屬于這三種情況。
因此,如果函數在駐點處的二階導數為零,那么可以用一階導數在駐點左右鄰近的符號來判定;如果函數在駐點處有f"(x0)=…=f(n-l)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,那么也可利用具有佩亞諾余項的泰勒公式來討論判定)。
四、求最值的方法
假定函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內除有限個點外可導,且至多有有限個駐點。在上述條件下,我們來討論f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
首先,由閉區間上連續函數的性質可知,f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在。
其次,如果最大值(或最小值)f(x0)在開區間(a,b)內的點x0處取得,那么,按f(x)在開區間內除有限個點外可導且至多有有限個駐點的假定,可知f(x0)一定也是f(x)的極大值(或極小值),從而x0一定是f(x)的駐點或不可導點。又f(x)的最大值和最小值也可能在區間的端點處取得。
因此,可用如下方法求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值:
(1)求出f(x)在(a,b)內的駐點及不可導點;
(2)計算f(x)在上述駐點、不可導點處的函數值及f(a)、f(b);
(3)比較(2)中諸值的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值。
在求函數的最大值(或最小值)時,特別值得指出的是下述情形:f(x)在一個區間(有限或無限,開或閉)內可導且只有一個駐點x0,并且這個駐點x0是函數f(x)的極值點,那么,當f(x0)是極大值時f(x0)就是f(x)在該區間上的最大值(圖3-15(a));當f(x0)是極小值時f(x0)就是f(x)在該區間上的最小值(圖3-15(b)),在應用問題中往往遇到這樣的情形。
五、借助導數描繪函數圖形
借助于一階導數的符號,可以確定函數圖形在哪個區間上上升,在哪個區間上下降;
借助于二階導數的符號,可以確定函數圖形在哪個區間上為凹,在哪個區間上為凸,在什么地方有拐點。
知道了函數圖形的升降、凹凸以及拐點后,也就可以掌握函數的形態,并把函數的圖形畫得比較準確。
利用導數描繪函數圖形的一般步驟如下:
現在,隨著現代計算機技術的發展,借助于計算機和許多數學軟件,可以方便地畫出各種函數的圖形。但是,如何識別機器作圖中的誤差,如何掌握圖形上的關鍵點,如何選擇作圖的范圍等,從而進行人工干預,仍然需要我們有運用微分學的方法描繪函數圖形的基本知識。
六、小結
本文介紹了利用導數判斷函數單調性、凹凸性、極值相關的概念和定理,通過本文的介紹,可以熟悉通過導數判斷函數單調性、凹凸性、極值以及求最值的原理和方法。最后,通過一階導數和二階導數確定了函數的單調性、凹凸性、極值點之后,就可以描繪出函數的幾何圖形。
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的人工智能数学基础:利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值、最值和描绘函数图形的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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