關(guān)于兩個(gè)周期函數(shù)的和的周期性的討論

因?yàn)榕虐婧颓脭?shù)學(xué)公式的局限性，很多地方寫得并不是非常嚴(yán)格，或者有些跳躍，望海涵。

初衷

想這個(gè)問(wèn)題的初衷是在給同學(xué)們習(xí)題課的時(shí)候（華東師大版的數(shù)學(xué)分析），里面有一道題，如下：
求下列函數(shù)的周期:$\cos \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{3}$。
這道題本身比較簡(jiǎn)單，顯然 $12\pi$ 是它的一個(gè)周期，如果這里的周期理解為基本周期（最小正周期）的話（有同學(xué)發(fā)問(wèn)了），我們還得 check $6\pi$ 不是它的一個(gè)周期，這也是很容易的，找兩個(gè)點(diǎn)算一算即可。

那么，作為數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)，我們就不應(yīng)該滿足于此，應(yīng)該考慮更多一些些？

簡(jiǎn)單地問(wèn)，兩個(gè)周期函數(shù)的和是否是周期函數(shù)？若是，周期是多少？最小正周期又是多少？

準(zhǔn)備工作

定義（可公度）：
對(duì)于實(shí)數(shù) $T_1,T_2$，若存在 ${\mathrm{m}}_{,}\mathrm{n}\in \mathrm{N},$ 使 ${\mathrm{T}}_1/{\mathrm{T}}_2=\mathrm{m}/\mathrm{n}$，則稱 $T_1,T_2$ 可公度，否則稱為不可公度。

引理
設(shè) $T_1,T_2$ 是兩個(gè)不可公度的正數(shù)，則存在數(shù)偶序列 $\left(m_k,n_k\right),k=1,2,3,?,$ 使得
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\left(m_k{T}_1+n_k{T}_2\right)=0$$
其中 $m_k,n_k$ 都是整數(shù).

證明：
當(dāng)$T_1=T_2$的時(shí)候顯然，下面不妨假設(shè)$a_0:=T_1>T_2:=a_1$。
我們可以用輾轉(zhuǎn)相除法構(gòu)造一個(gè)數(shù)列$a_k$，
$$a_0=i_1{a}_1+a_2$$
$$a_1=i_2{a}_2+a_3$$
$$\dots \dots$$
以此類推。易知，這里的 $a_k\to 0$，并且它可以遞推地寫成：
$$a_k=m_k{a}_0+n_k{a}_1$$
的形式。譬如，
$$a_2=a_0?i_1{a}_1=?i_{1}a+b=m_{1}a+n_{1}b$$
$$a_3=a_1?i_2{a}_2=\left(1?i_2{m}_1\right)a?i_2{n}_{1}b=m_{2}a+n_{2}b$$
$$\dots \dots$$

證畢。

從這里引理，我們可以隱隱地感覺(jué)到，如果一個(gè)連續(xù)的周期函數(shù)的周期可以寫成$m_{}{T}_1+n_{}{T}_2,?m,n$ 的形式，那么，這個(gè)函數(shù)的周期可以任意小，也就是說(shuō)，它應(yīng)該要是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。

定理和證明

有了以上的一些準(zhǔn)備，我們就可以證明一些定理。

定理（和為周期函數(shù)的充要條件）：
設(shè) $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續(xù)非常值最小正周期分別為 $T_1,T_2$ 的周期函數(shù)，那么
$$f+g為\text{周期函數(shù)}?T_1,T2\text{可公度}$$

證明：
充分性是顯然的。假設(shè)$T_1=ma,T_2=na$，那么 $mna$ 必然是 $f+g$ 的周期。下證必要性。即證，若$T_1,T_2$不可公度，則$f+g$必不是周期函數(shù)。
反證。假設(shè)$f+g$是以$T$為周期的周期函數(shù)。
$$f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)$$
則，
$$f(x+T)?f(x)=g(x)?g(x+T)\equiv \phi (x)$$
易觀察到，$\phi (x)$以$T_1$為周期，也以$T_2$為周期，那么，它便以$m_k{T}_1+n_k{T}_2\equiv T_k$為周期。由引理知$T_k\to 0$，又因$\phi (x)$的連續(xù)性質(zhì)，我們知道$\phi (x)=常數(shù)$。
進(jìn)一步，由$$f(x+T)?f(x)=常數(shù)$$，若 $常數(shù)=0$ 意味$f$是個(gè)無(wú)界函數(shù)，這和它是周期函數(shù)相矛盾。所以，
$$f(x+T)?f(x)=g(x)?g(x+T)=0$$
即$f$和$g$必然以$T$為周期。說(shuō)明$T=k{T}_1=l{T}_2$，這和$T_1,T_2$不可公度是矛盾的。得證。

PS:
1、事實(shí)上，這里的必要性證明只要$f$和$g$中有一個(gè)是連續(xù)的即可。
2、非常值條件的設(shè)定是因?yàn)槌Ｖ岛瘮?shù)沒(méi)太大意義。
3、定義在 $\mathbb{R}$上和連續(xù)的假設(shè)，是符合常規(guī)考慮的。
4、如果沒(méi)有連續(xù)性和周期性的假設(shè)，那么有一些更廣泛的討論。可以參考一些書(shū)，比如《數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和反例》、《實(shí)分析中的反例 微積分中的反例》、《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集學(xué)習(xí)指引》、《數(shù)學(xué)分析拾遺》（趙顯曾 著）、裴禮文的習(xí)題集等等。還有網(wǎng)上的一些中小學(xué)老師寫的一些文章（鳥(niǎo)不拉屎錯(cuò)誤連連）。
5、事實(shí)上，這里的最小正周期這個(gè)條件可以換為周期。

定理 （周期函數(shù)和的最小正周期，$m,n>1$）

設(shè) $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續(xù)非常值最小正周期分別為 $T_1=n\alpha ,T_2=m\alpha$ 的周期函數(shù)，這里
$$\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{N},\mathrm{m},\mathrm{n}>1,(\mathrm{m},\mathrm{n})=1,\alpha \text{是正實(shí)數(shù)}$$
那么函數(shù) $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函數(shù)，且最小正周期為$mn\alpha$。

證明：

和為周期函數(shù)的充要條件知 $h$ 是周期函數(shù)，$mn\alpha$ 是一個(gè)周期，下證其為最小正周期。
只要證最小正周期為$m$的$f_0(x):=f(\alpha x)$與最小正周期為$n$的$g_0(x):=g(\alpha x)$之和$h_0(x)$的最小正周期為$mn$即可。

下面用反證。

若$mn$不是最小正周期。因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$m=n$，必然存在$a<mn$ 是 $h_0(x)$的最小正周期。那么$a$不可能整除$m$和$n$中的任何一個(gè)，否則，不妨假設(shè)$a$整除$m$，那么$m$是$h_0$的周期，也是$g_0=h_0?f_0$的周期。則$n$整除$m$，這和題設(shè)條件矛盾。
因此，$a$不能整除$m$和$n$，故而$a$不能整除$mn$（經(jīng)網(wǎng)友 axiomofextension 提醒，此處證明有誤，故定理結(jié)論可能不對(duì)，修正定理見(jiàn)下方），這個(gè)和$a$是最小正周期且$mn$是周期矛盾。
得證。

修正后定理 （周期函數(shù)和的最小正周期，$m,n>1$）
設(shè) $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續(xù)非常值最小正周期分別為 $T_1=n,T_2=m$ 的周期函數(shù)，這里
$$\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{N},\mathrm{m},\mathrm{n}>1,(\mathrm{m},\mathrm{n})=1$$
且 $m$ 和 $n$ 中至少有一個(gè)不是質(zhì)數(shù)，那么函數(shù) $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函數(shù)，且最小正周期為$mn$。
證明：
不妨假設(shè) $\frac{q}{p}$ 是最小正周期，且$(p,q)=1$。容易知道 $q$ 不能整除 $m$ 和 $n$ 當(dāng)中的任意一個(gè)。否則，不妨設(shè) $q$ 能整除 $m$，那么 $m$ 就是 $h$ 的周期，從而也是 $g$ 的周期， 那么 $n$ 就能整除 $m$，這個(gè)和兩者互質(zhì)矛盾。
進(jìn)而，我們不妨設(shè) $q=m_1{n}_1,m=m_1{m}_2,n=n_1{n}_2$，且 $n_2>1$。由上結(jié)論知，$n_1$ 不能整除 $m_2$，$m_1$ 也不能整除 $n_2$。容易直達(dá)，$m{n}_1$ 是 $f$ 的周期，也是 $h$ 的周期，則它也是 $g$ 的周期。所以，$n_2$ 能整除 $m$，這和 $(m,n)=1$ 矛盾。

這里沒(méi)考慮 $\alpha$，當(dāng)考慮 $\alpha$ 的時(shí)候也是類似的。任何一個(gè)周期函數(shù)可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q化為以指定的任一正實(shí)數(shù)為周期的周期函數(shù)。所以，當(dāng)兩個(gè)周期函數(shù)的周期可通約時(shí)不妨設(shè)它們的周期都是自然數(shù)。

定理 （周期函數(shù)和的最小正周期，$m>1,n=1$）

設(shè) $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續(xù)非常值最小正周期分別為 $T_1=n\alpha ,T_2=m\alpha$ 的周期函數(shù)，這里
$$\mathrm{m}\in \mathrm{N},\mathrm{m}>1,\mathrm{n}=1,\alpha \text{是正實(shí)數(shù)}$$
那么函數(shù) $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函數(shù)，且最小正周期可能為$m\alpha$或者$\frac{\alpha m}{k}(k、m互相不整除)$。

證明：

只要證最小正周期為$m$的$f_0(x):=f(\alpha x)$與最小正周期為$1$的$g_0(x):=g(\alpha x)$之和$h_0(x)$的最小正周期只可能為$m$或者$\frac{m}{k}$即可。

只要證明在$k=1$的情況下，若$m$整除$k$或者$k$整除$m$，$m/k$都不可能是最小正周期即可。

若$s_1=m/k<m$ 為整數(shù)，那么它是$h_0$的周期，也是$g_0$的周期，那么它也是$f_0$的周期，它和$m$是$f_0$的最小正周期矛盾。

若$1/s_2=m/k$ ，其中$s_2$為整數(shù)，那么 1 本是$g_0$的周期，現(xiàn)也是$h_0$的周期，推得它也是$f_0$的周期，它和$m$是$f_0$的最小正周期且$m>1$矛盾。

定理 （周期函數(shù)和的最小正周期，$m=n=1$）

設(shè) $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續(xù)非常值最小正周期分別為 $T_1=\alpha ,T_2=\alpha$ 的周期函數(shù)， 則函數(shù) $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})$的最小正周期為$\frac{\alpha }{k}$（$k$為某個(gè)確定的自然數(shù)，取到無(wú)窮說(shuō)明最小正周期不存在，是常值函數(shù)）。

證明：
我們知道$\alpha$是$h$的一個(gè)周期，那么，最小正周期必為$\frac{\alpha }{k}$（$k$為某個(gè)確定的自然數(shù)）。$k$和$f$和$g$的具體情況有關(guān)，無(wú)法確定。

舉例如下圖：

從圖上可以看到，這是紅藍(lán)兩個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，他們的周期都是 1，但是他們的和的后期就是$1/k$，圖中我的$k=5$，其實(shí)可以等于任意的值。它們和的周期為$\min \{1,|\frac{1}{k}|\}$。

我所用的 MATLAB 作圖代碼為：

clc clear k = 5; T = 1/k; x = 0:0.001:1; y0 = sin(2*k*pi.*x); y1 = y0; y2 = y0; y1(x>=0.5) = 0; y2(x<0.5) = 0; plot(x,y1,'red',x,y2,'blue','LineWidth',5); axis([0 1 -2 2]); h = legend('$f(x)$','$g(x)$'); set(h,'Interpreter','latex') title('The period of $f(x)$ and $g(x)$ is 1, but the period of $f+g$ is $1/k$','Interpreter','LaTex','FontSize',13)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于两个周期函数的和的周期性的讨论的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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