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基本積分公式表

(1)∫ 0dx=C

=ln|x|+C

(3)(m≠-1，x>0)

(4)(a>0,a≠ 1)

(5)

(6)∫ cosxdx=sinx+C

(7)∫ sinxdx=-cosx+C

(8)∫ sec2xdx=tanx+C

(9)∫ csc2xdx=-cotx+C

(10)∫ secxtanxdx=secx+C

(11)∫ cscxcotxdx=-cscx+C

(12)=arcsinx+C

=arctanx+C

注． (1)不是在 m=-1 的特例．

=ln|x|+C ， ln 后面真數(shù)　x 要加絕對(duì)值，原因是　(ln|x|)' =1/x．

事實(shí)上，對(duì)　x>0， (ln|x|)' =1/x；若 x<0，則

(ln|x|)' =(ln(- x))' =.

(3)要特別注意與的區(qū)別：前者是冪函數(shù)的積分，后者是指數(shù)函數(shù)的

積分．

下面我們要學(xué)習(xí)不定積分的計(jì)算方法，首先是四則運(yùn)算．

不定積分的四則運(yùn)算

根據(jù)微分運(yùn)算公式

d(f(x)　g(x))=d f(x) dg(x)

d(kf(x))=kdf(x)

我們得 不定積分的線性運(yùn)算公式

(1)∫ [f(x) ±g(x)]d x=∫ f(x)dx±∫ g(x)dx

(2)∫ kf(x)dx=k∫f(x)dx， k 是非零常數(shù) .

現(xiàn)在可利用這兩個(gè)公式與基本積分公式來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單不定積分．

例 2.5.4 求∫ (x3+3x++5sinx－ 4cosx)dx

解.原式 = ∫x3dx+ ∫3xdx+7∫dx+5∫ sinxdx－4∫cosxdx

=+7ln| x|－ 5cosx－ 4sinx+C .

注. 此例中化為五個(gè)積分， 應(yīng)出現(xiàn)五個(gè)任意常數(shù)， 它們的任意性使其可合并成一個(gè)任意常數(shù) C ，因此在最后寫(xiě)出 C 即可．

例 2.5.5 求∫ (1+)3dx

解.原式 = ∫(1+3+3x+)dx

=∫ dx+3∫dx+3∫ xdx+∫dx

=x+3+C

=x+2x++C.

注.∫ dx 與∫ 1dx 是相同的，其中 1 可省略．例 2.5.6 求

解.原式 =

=

－ x+arctanx+C .

注 .被積函數(shù)是分子次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式，稱為有理假分式 ．先將其分出一

個(gè)整式 x2－1，余下的分式為有理真分式 ,其分子次數(shù)低于分母的次數(shù)．

例 2.5.7 求.

解.原式 =

=∫ csc2xdx－ ∫ sec2xdx= －cotx－ tanx+C .

注.利用三角函數(shù)公式將被積函數(shù)化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單函數(shù)以便使用基本積分公式

例 2.5.8 求.

.

解.原式 =

=+C .

為了得到進(jìn)一步的不定積分計(jì)算方法，我們先用 微分的鏈鎖法則 導(dǎo)出不定積分的重

要計(jì)算方法換元法 .

思考題 .被積函數(shù)是有理假分式時(shí)，積分之前應(yīng)先分出一個(gè)整式，再加上一個(gè)有理

真分式，一般情形怎樣實(shí)施這一步驟？

第一換元法(湊微分法)

我們先看一個(gè)例子：

例 2.5.9 求.

解 .因(1+x2)' =2x，與被積函數(shù)的分子只差常數(shù)倍數(shù) 2，如果將分子補(bǔ)成 2x,即可將原式變形：

原式 =(令 u=1+x2 )

=(代回 u=1+x2)

.

注 .此例解法的關(guān)鍵是湊了微分d(1+x2)．一般地

在 F '(u)=f(u),u= (x)可導(dǎo) ,且 ' (x)連續(xù)的條件下 ,我們有第一換元公式 ( 湊微分 ) ：

u=(x)積分代回u=(x)

∫f[　(x)]' (x)dx∫f[　(x)]d(x)　∫f(u)du　F(u)+C　F[(x)]+C

其中函數(shù)(x)是可導(dǎo)的 ,且 F(u)是 f(u)的一個(gè)原函數(shù)．

從上述公式可看出湊微分法的步驟：

湊微分————→換元————→積分————→再換元

' (x)dx=d　(x)u=　(x)得 F(u)+C得 F[(x)]+ C

注.湊微分法的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈鎖法則的逆過(guò)程．事實(shí)上，在

F '(u)=f(u)的前提下，上述公式右端經(jīng)求導(dǎo)即得:

[F[　(x)]+C]' =F '[(x)]' (x)=f[(x)]' (x)

這就驗(yàn)證了公式的正確性．

例 2.5.10 求∫ (ax+b)mdx.(m≠-1,a≠ 0)

解 .原式 =(湊微分 d(ax+b ))

=

( 換元

u=ax+b)

=

(積分 )

=

.

(代回

u=ax+b)

例

2.5.11

求

.

解.原式 =

(湊微分 d(-x

3)=-3 x2dx)

=

=

=

(換元

u=- x3)

.

注 .你熟練掌握湊微分法之后，中間換元

u=　(x)可省略不寫(xiě)

,顯得計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)練

,

但要做到心中有數(shù)．

例 2.5.12 求∫ tanxdx

.

解.原式 =

=-ln|cosx|+C .

同理可得

∫ cotxdx=ln|sinx|+C .

例 2.5.13 求

(a>0)

.

解.原式 =

=.

例 2.5.14 求(a>0).

解.原式 =

=.

例 2.5.15 求

.

解.原式 =

=

=

=

.

例 2.5.16∫secxdx.

解.原式 =(換元 u=sin x)

=

=

=(代回 u=sinx)

=

=

=ln|secx+ tanx|+C .

公式 :∫ secxdx=ln|secx+tanx|+C .

例.2.5.17 求∫ cscxdx .

解.原式 =

=

=ln|cscx-cotx|+C .

公式 :∫ cscxdx=ln|cscx-cotx|+C .

湊微分法是不定積分換元法的第一種形式，其另一種形式是下面的第二換元法．

第二換元法

不定積分第一換元法的公式中核心部分是

f[　(x)]　'(x)dx= ∫f(u)du

我們從公式的左邊演算到右邊，即換元：u=　(x)．與此相反，如果我們從公式的右邊演

算到左邊，那么就是換元的另一種形式，稱為第二換元法 ．即若 f(u),u=　(x),'(x)均連

續(xù),u=　(x)的反函數(shù)　x=　-1(u)存在且可導(dǎo) ,F(x) 是 f[　(x)]　'(x) 的一個(gè)原函數(shù) ,則有

∫f(u)du∫f[　(x)]'(x)dxF(x)+CF[　-1 (u)]+C .

第二換元法常用于被積函數(shù)含有根式的情況．

例 2.5.18 求

解.令(此處(t)=t2)．于是

原式 =

=

=(代回 t=　-1 (x)=)

注.你能看到，換元=t 的目的在于將被積函數(shù)中的無(wú)理式轉(zhuǎn)換成有理式,然后積

分．

第二換元法除處理形似上例這種根式以外，還常處理含有根式，

，(a>0)的被積函數(shù)的積分．

被積函數(shù)含根式換元方法運(yùn)用的三角公式

x=a sectsec2t-1= tan2t

x=a tanttan2t+1=sec2t

x=asint1－ sin2t= cos2 t

例 2.5.19 求. (a>0)

解.令 x=a sect，則 dx=a sect tant dt,于是

原式 ==∫sectdt

=ln|sect+ tant|+C1 .

到此需將　t 代回原積分變量x，用到反函數(shù)t= arcsec，但這種做法較繁．下面介

紹一種直觀的便于實(shí)施的圖解法：作直角三角形， 其一銳角為t 及三邊 a，x，

滿足：

sect=

由此，原式 =ln |sect+ tant|+C1

=

=

.

注． C1 是任意常數(shù) ,-ln a 是常數(shù) ,由此 C=C1-ln a 仍是任意常數(shù)．

例 2.5.20 求

(a>0)

.

解.令 x=a tant，則 dx=a sec2tdt，于是

原式 ==∫ sectdt

=ln |sect+ tant|+C1　．

圖解換元得

原式 =ln |sect+ tant|+C1

=

.

公式 :

.

例 2.5.21 求(a>0)

.

解.令 x=a sint，則 dx=a costdt，于是原式 =

=

=+C

.

圖解換元得：

原式=+C

=+C .

除了換元法積分外，還有一個(gè)重要的積分公式，即分部積分公式 ．

思考題 .在第二換元法公式中，請(qǐng)你注意加了一個(gè)條件“u=　(x)的反函數(shù)　x=(u)

存在且可導(dǎo)”，你能否作出解釋，為什么要加此條件？

分部積分公式

我們從 微分公式

d(uv)=vdu+udv

兩邊積分，即

d(uv)=∫vdu+∫udv

由此導(dǎo)出不定積分的分部積分公式

u dv=uv -∫ vd u

下面通過(guò)例子說(shuō)明公式的用法．

例 2.5.22 求∫ x2lnxdx

解.∫ x2lnxdx

=(將微分 dlnx 算出 )

=

=.

例 2.5.23 求∫ x2sinxdx.

解.原式 =∫x2d(-cosx)(湊微分 )

=-x2cosx-∫( -cosx)d(x2 )(用分部積分公式)

=-x2cosx+∫ 2xcosxdx

=-x2cosx+2∫ xdsinx(第二次湊微分 )

=-x2cosx+2[ xsinx－ ∫ sinxdx] ( 第二次用分部積分公式)

=-x2cosx+2xsinx+2cosx+C .

例 2.5.24 求∫ exsinxdx.

解.∫ exsinxdx=∫ sinxdex(湊微分 )

=exsinx-∫ exdsinx

(用分部積分公式

)

=exsinx-∫ excosxdx

(算出微分

)

=exsinx-∫ cosxdex

(第二次湊微分

)

=exsinx-[excosx-∫

exdcosx]

(第二次用分部積分公式

)

=ex(sinx-cosx)

-∫

exsinxdx

(第二次算出微分

)

由此得：

2∫ exsinxdx=ex(sinx-cosx)+2C

因此 ∫ exsinxdx=(sinx-cosx)+C．

注.(1) 此例中在第二次湊微分時(shí)，必須與第一次湊的微分形式相同．否則若將∫

excosxdx 湊成 ∫ exdsinx,那將產(chǎn)生惡性循環(huán)，你可試試．

(2)積分常數(shù)　C 可寫(xiě)在積分號(hào)　∫ 一旦消失之后．

例 2.5.25 求∫ arctanxdx

解.此題被積函數(shù)可看作　 x0arctanx， x0dx=dx，即適合分部積分公式中　 u=arctanx，

v=x．故

原式 =xarctanx - ∫ xd(arctanx) (用分部積分公式　)

=xarctanx -dx(算出微分 )

=xarctanx -(湊微分 )

=xarctanx -ln(1+ x2)+C .

小結(jié) .

(1)分部積分公式常用于被積函數(shù)是兩種不同類型初等函數(shù)之積的情形，例如

x3arctanx， x3lnx

冪函數(shù)與反正切或?qū)?shù)函數(shù)

x2sinx，x2cosx

冪函數(shù)與正弦

,余弦

x2ex

冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)

exsinx,excosx

指數(shù)函數(shù)與正弦

,余弦

等等．

(2)在用分部積分公式計(jì)算不定積分時(shí)，將哪類函數(shù)湊成微分dv，一般應(yīng)選擇容易

湊的那個(gè)．例如

被積函數(shù)湊微分 dv

x3arctanx， x3lnx

arctanxd

，lnxd

2

2

2　x

2

2

2

x

x sinx， x cosx，x e

x

d(-cosx)， x dsinx， x de

exsinx，e x cosx

sinxdex，

cosxdex

我們已學(xué)習(xí)了不定積分的幾種常用方法，除了熟練運(yùn)用這些方法外，在許多數(shù)學(xué)手

冊(cè)中往往列舉了幾百個(gè)不定積分公式，它們不是基本的，不需要熟記，但可以作為備查

之用，稱為 積分表 ．

思考題 .你仔細(xì)觀察分部積分公式，掌握其中使用的規(guī)律，特別是第一步湊微分時(shí)

如何選擇微分　.

積分表的使用

除了基本積分公式 之外，在許多數(shù)學(xué)手冊(cè)中往往列舉了幾百個(gè)補(bǔ)充的積分公式，構(gòu)成了積分表．

下面列出本節(jié)已得到的基本積分公式 ．

(1)∫ 0dx=C

=ln|x|+C

(3)(m≠ -1,x>0)

(4)

(a>0,a≠ 1)

(5)

(6)∫ cosxdx= sinx+C

(7)∫ sinxdx= - cosx+C

(8)∫ sec2xdx= tanx+C

(9)∫ csc2xdx= - cotx+C

(10)∫ secxtanxdx=secx+C

(11)∫ cscxcotxdx= - cscx+C

(12)=arcsinx+C

=arctanx+C

(14)∫ tanxdx= - ln|cosx|+C

(15)∫ cotxdx= ln|sinx|+C

(16)=(a>0)

(17)

=

(a>0)

(18)

(a>0)

(19)=(a>0)

(20)∫ secxdx= ln|secx+ tanx|+C

(21)∫ cscxdx= ln|cscx-cotx|+C

利用積分表中的公式，可使積分計(jì)算大大簡(jiǎn)化．積分表的使用方法比較簡(jiǎn)單，現(xiàn)舉一例說(shuō)明之．

例 2.5.26 求

解.從積分表中查得公式

則將 a=3， b= － 1， c=4 代入上式并添上積分常數(shù)C 即得解答：

=

.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的计算机txt公式,完整word版本积分公式的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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