概念

多目標(biāo)優(yōu)化問題( multi-objective optimization problem，MOP)也稱為向量優(yōu)化問題或多準(zhǔn)則優(yōu)化問題。多目標(biāo)優(yōu)化問題可以描述為:在可行域中確定由決策變量組成的向量，它滿足所有約束，并且使得由多個(gè)目標(biāo)函數(shù)組成的向量最優(yōu)化。

而這些組成向量的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)彼此之間通常都是互相矛盾的。

因此，這里的“優(yōu)化”意味求一個(gè)或一組解向量使目標(biāo)向量中的所有目標(biāo)函數(shù)滿足設(shè)計(jì)者的要求。

這些相互沖突的子目標(biāo)，一個(gè)子目標(biāo)的改善有可能會引起另一個(gè)或者另幾個(gè)子目標(biāo)的性能降低 , 也就是要同時(shí)使多個(gè)子目標(biāo)一起達(dá)到最優(yōu)值是不可能的 , 而只能在它們中間進(jìn)行協(xié)調(diào)和折中處理 , 使各個(gè)子目標(biāo)都盡可能地達(dá)到最優(yōu)化。多目標(biāo)優(yōu)化與單目標(biāo)優(yōu)化問題的本質(zhì)區(qū)別在于 ,它的解并非唯一 ,而是存在一組由眾多 Pareto最優(yōu)解組成的最優(yōu)解集合 ,集合中的各個(gè)元素稱為 Pareto最優(yōu)解或非劣最優(yōu)解。

數(shù)學(xué)描述

多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述由決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件組成。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的應(yīng)用領(lǐng)域不同，其數(shù)學(xué)描述也不同，包括一般多目標(biāo)優(yōu)化、動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化、確定多目標(biāo)優(yōu)化和不確定多目標(biāo)優(yōu)化等幾種。
一般多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)描述如下：

其中：x為D維決策變量，y為目標(biāo)函數(shù)，N為優(yōu)化目標(biāo)總數(shù)； f n (x)為第n個(gè)子目標(biāo)函數(shù)； g(x)為K項(xiàng)不等式約束條件， h(x)為M項(xiàng)等式約束條件，約束條件構(gòu)成了可行域； x d ? min 和 x d ? max為向量搜索的上下限。以上方程表示的多目標(biāo)最優(yōu)化問題包括最小化問題（min）和最大化問題（max）以及確定多目標(biāo)優(yōu)化問題。

Pareto解（非劣解）

多目標(biāo)優(yōu)化問題并不存在一個(gè)最優(yōu)解，所有可能的解都稱為非劣解，也稱為Pareto解。

Pareto支配(Pareto Dominance)

在最小化優(yōu)化問題中，當(dāng)且僅當(dāng) ? i ∈ { 1 , 2 , … , m } , f i ( x ) ≤ f i ( y )， 且 ? j ∈ { 1 , 2 , … , m } , f j ( x ) ≤ f j ( y ) ,f j? (x)≤f j (y)，我們稱 x支配y (有些場合也稱為 x占優(yōu)于y ),記作 x?y。
換句話說，在最小化優(yōu)化問題中，x至少存在一個(gè)目標(biāo)分量中小于y，并且其他目標(biāo)分量也不會比y大，我們希望得到盡量小的解，那么越小就越優(yōu)，越優(yōu)的解所處的前沿面序號越小，所以使用‘x?y ’表示x支配y。

Pareto最優(yōu)解(Pareto Optimal Solution)

如果一個(gè)解 x *被稱之為Pareto optimal solution， 當(dāng)且僅當(dāng) x *不被其他的解支配。又稱為非劣解、非支配解。
上圖中的解A、解D、解E都是非支配解。

通俗點(diǎn)說就是：無法在改進(jìn)任何目標(biāo)函數(shù)的同時(shí)不削弱至少一個(gè)其他目標(biāo)函數(shù)。這種解稱作非支配解或Pareto最優(yōu)解。

無法進(jìn)行簡單相互比較的解，不存在比它更優(yōu)越解的解，也就是說該解體現(xiàn)了若干 f i ( x ) 的最優(yōu)（不是所有 f i ( x ) 的最優(yōu)）。

在單目標(biāo)優(yōu)化問題中，通常最優(yōu)解只有一個(gè)，而且能用比較簡單和常用的數(shù)學(xué)方法求出其最優(yōu)解。然而在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，各個(gè)目標(biāo)之間相互制約，可能使得一個(gè)目標(biāo)性能的改善往往是以損失其它目標(biāo)性能為代價(jià)，不可能存在一個(gè)使所有目標(biāo)性能都達(dá)到最優(yōu)的解。

Pareto 集(Pareto Set)

一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題（MOP），對于一組給定的最優(yōu)解集，如果這個(gè)集合中的解是相互非支配的，也即兩兩不是支配關(guān)系，那么則稱這個(gè)解集為Pareto Set 。

Pareto 前沿(Pareto Front)

Pareto Set 中每個(gè)解對應(yīng)的目標(biāo)值向量組成的集合稱之為Pareto Front, 簡稱為PF。

求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的過程就是尋找Pareto最優(yōu)解的過程

求解思想

在存在多個(gè)Pareto最優(yōu)解的情況下，如果沒有關(guān)于問題的更多的信息，那么很難選擇哪個(gè)解更可取，因此所有的Pareto最優(yōu)解都可以被認(rèn)為是同等重要的。由此可知，對于多目標(biāo)優(yōu)化問題，最重要的任務(wù)是找到盡可能多的關(guān)于該優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解。因而，在多目標(biāo)優(yōu)化中主要完成以下兩個(gè)任務(wù)：

1.找到一組盡可能接近Pareto最優(yōu)域的解。
2.找到一組盡可能不同的解。

第一個(gè)要求算法要保證可靠的收斂性，第二個(gè)要求算法保證充足的分布性（包括多樣性和均勻性）。即要求求得盡可能均勻分布的pareto最優(yōu)解集，然后根據(jù)不同的設(shè)計(jì)要求和意愿，從中選擇最滿意的設(shè)計(jì)結(jié)果。多目標(biāo)優(yōu)化問題最終獲得的解實(shí)際是所有有效解中的一個(gè)解或確定全部非支配解。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化问题MOP的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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