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行列式的计算方法(含四种，看完就会！)

發布時間：2023/12/14 编程问答 43 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了行列式的计算方法(含四种，看完就会！) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

行列式的計算方法

前言
一、對角線法
二、代數余子式法
三、等價轉化法
四、逆序數法
總結

前言

提示：本文主要講述行列式的求解方法，所以本文側重于方法的講解，而并非推導。主要思路為從三階行列式舉例，再過渡到高階行列式的通用方法。

以下是本篇文章正文內容：

一、對角線法

▍以三階行列式為例：

$D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|$

①將第一、二列平移到行列式右側
②如圖做出六條斜對角線
③對角線上的元素相乘，紅色相加的和減去藍色相加的和

$D_3=$

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$

$a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

對角線法也是三階行列式計算使用最廣泛的方法

▍ 對角線法適用于二、三階行列式，對于更高階的行列式暫時未找到規律

二、代數余子式法

▍以三階行列式為例：

$例：D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣例：D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|$

$以第一行展開，得D_3=$

$=(?1)1+1a11M11+(?1)1+2a12M12+(?1)1+3a13M13=\left( -1 \right) ^{1+1}a_{11}M_{11}+\left( -1 \right) ^{1+2}a_{12}M_{12}+\left( -1 \right) ^{1+3}a_{13}M_{13}$

$=a11∣a22a23a32a33∣?a12∣a21a23a31a33∣+a13∣a21a22a31a32∣=a_{11}\left| \begin{matrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|-a_{12}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|+a_{13}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\\ \end{matrix} \right|$

對于任一行（列）都可進行展開

▍例n階行列式：

$Dn=∣a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?ann∣D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|$

以第 i 行展開:

$=(?1)i+1ai1Mi1+(?1)i+2ai2Mi2+?+(?1)i+nainMin=\left( -1 \right) ^{i+1}a_{i1}M_{i1}+\left( -1 \right) ^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\cdots +\left( -1 \right) ^{i+n}a_{in}M_{in}$

以第 j 列展開:

$=(?1)1+ja1jM1j+(?1)2+ja2jM2j+?+(?1)n+janjMnj=\left( -1 \right) ^{1+j}a_{1j}M_{1j}+\left( -1 \right) ^{2+j}a_{2j}M_{2j}+\cdots +\left( -1 \right) ^{n+j}a_{nj}M_{nj}$

$\left| \begin{matrix} 0& 1& 0\\ 2& 15& 3\\ 1& 41& 2\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+2}\left| \begin{matrix} 3& 2\\ 2& 1\\ \end{matrix} \right|=1$

本例中，利用代數余子式法能夠簡便運算

三、等價轉化法

①行列式的某一行（列）的各元素乘同一數然后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變 ②行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面

轉化法的核心思想是將行列式轉化成上三角行列式

直接舉例：

$D4=∣3111131111311113∣D_4=\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|$

$∣3111131111311113∣=r1+r2+r3+r4∣6666131111311113∣=r1÷66∣1111131111311113∣\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1+r_2+r_3+r_4}\left| \begin{matrix} 6& 6& 6& 6\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1\div 6}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|$

$=r2?r1,r3?r1,r4?r16∣1111020000200002∣=6×1×2×2×2=48\xlongequal{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ \end{matrix} \right|=6\times1\times 2\times 2\times 2=48$

四、逆序數法

▍以三階行列式為例
$D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∑(?1)ta1p1a2p2a3p3D_3=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}}$

$t為排列?p1p2p3的逆序數t\text{為排列 }p_1p_2p_3\ \text{的逆序數}$

$其中p1、p2、p3≤3，且各不相同其中p_1\text{、}p_2\text{、}p_3\text{≤3，且各不相同}$

▍對于n階行列式：

$=∑(?1)ta1p1a2p2?anpn=\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}}$

$t為排列?p1p2?pn的逆序數t\text{為排列 }p_1p_2\cdots p_n\ \text{的逆序數}$

$其中p1、p2?pn≤n，且各不相同其中p_1\text{、}p_2\cdots p_n\text{≤n，且各不相同}$

前三種方法的本質其實都是逆序數法，逆序數法也是行列式求解最基礎的方法，但使用起來更加復雜

總結

本文講述了四種行列式的計算方法：

▍其中對角線法，是使用最簡單、最廣泛的方法

▍代數余子式法和等價轉化法，在特定情況下能極大程度上簡便運算，但需要讀者對行列式進行靈活地觀察

▍逆序數法，是一種更加基礎的方法，使用起來比較復雜

提示：以上是本人關于行列式學習的體會，若有錯誤，歡迎大家批評和交流(*^▽ ^*)/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的行列式的计算方法(含四种，看完就会！)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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