算法復雜度及漸進符號

一、算法復雜度

每一個程序在運行時，都需要占用一定的計算機資源，比如內存，磁盤，這些稱之為空間。
計算過程中需要判斷，循環執行某些邏輯，周而反復，這些是時間。

那么我們可以通過算法復雜度理論來衡量算法的效率。

復雜度有兩個維度：時間和空間。

如果計算機的速度越快，那么這個算法時間復雜度越低

如果占用的計算機資源越少，那么空間復雜度越低

我們要選擇復雜度低的算法，衡量好空間和時間的消耗，選出適合特定場景的算法。

二、算法規模

例如：我們要計算1+2+3+…+100，那么最直觀的寫法

package mainimport "fmt"func sum(n int) int {total := 0// 從1加到N，1+2+3+4+5....for i := 1; i <= n; i++ {total += i}return total }func main() {fmt.Println(sum(100)) }

當n是一個比較小的數字的時候計算很快，但是當n接近無限大的時候，計算很慢。

所以，算法衡量的是在不同問題規模n下，算法的速度。

在這里，因為要循環計算n-1次，而當n無限大的時候，常數項基本忽略不計，所以這個算法的時間復雜度我們用**O(n)**表示。

我們還有另外的計算方式：

func sum2(n int) int {total := ((1 + n) * n) / 2return total }

這次算法只需要執行1次，所以這個算法的時間復雜度是O(1)?？梢钥闯?#xff0c;時間復雜度為**O(1)的算法優于算法復雜度為O(n)**的算法

算法的優先級排列如下，一般排在上面的要優于排在下面的：

常數復雜度：O(1)

對數復雜度：O(logn)

一次方復雜度：O(n)

一次方乘對數復雜度：O(nlogn)

乘方復雜度：O(n^2)，O(n3)

指數復雜度：O(2^n)

階乘復雜度：O(n!)

無限大指數復雜度：O(n^n)

三、漸進符號

如何量化一個復雜度，到底有多復雜，計算機抽象出了幾個復雜度漸進符號。

漸進符號如下： O，ο，Θ，Ω，ω

分別讀作：Omicron（大歐），omicron（小歐），Theta（西塔），Omega（大歐米伽），omega（小歐米伽）。

3.1.漸進符號：θ

假設算法A的運行時間表達式：

T(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2

如果問題規模n足夠大，那么低次方的獎項將無足輕重，運行時間取決于高次方的第一項：5 * n^3。

隨著n的增大，第一項中的常數也不重要了，所以算法A的運行時間T(n)約等于n^3，記為：

T(n) = θ(n^3)

Θ 的數學含義:

設 f(n) 和 g(n) 是定義域 n 為自然數集合的函數，兩個函數同階，也就是當 n 無窮大時，f(n)/g(n) 等于某個大于0的常數 c。

也可以說，存在正常量 c1，c2 和 n0，對于所有 n >= n0，有 0 <= c1 * g(n) <= f(n) <= c2 * g(n)。

那么可以記 f(n) = Θ(g(n))，g(n) 是 f(n) 的漸進緊確界。

3.2. 漸進符號：

O 的數學含義:

設 f(n) 和 g(n) 是定義域 n 為自然數集合的函數， f(n) 函數的階不高于 g(n) 函數的階。

也可以說，存在正常量 c 和 n0，對于所有 n >= n0，有 0 <= f(n) <= c * g(n)。

那么可以記 f(n) = O(g(n))。g(n) 是 f(n) 的漸進上界。

3.3. 漸進符號：Ω

Ω 的數學含義:

設 f(n) 和 g(n) 是定義域 n 為自然數集合的函數， f(n) 函數的階不低于 g(n) 函數的階。

也可以說，存在正常量 c 和 n0，對于所有 n >= n0，有 0 <= cg(n) <= f(n)。

那么可以記 f(n) = Ω(g(n))。g(n) 是 f(n) 的漸進下界。

3.4. 漸進分析

上面的定義很復雜，我們可以來看圖：

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當 n 值超過某個值時，f(n) 被 g(n) 兩條線夾在中間，那么 g(n) 就是漸進緊確界。

如果 g(n) 的線在上面，就是漸進上界。

如果 g(n) 線在下面，就是漸進下界。

我們一般會評估一個算法的漸進上界 O，因為這表示算法的最壞情況，這個上界可以十分不準確，但我們一般會評估得足夠準確，比如：

設 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，我們要求漸進上界。

那么：

f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4

兩個 g(n) 都是上界，因為令 c = 5 時都存在：0 <= f(n) <= c * g(n))。

我們會取乘方更小的那個，因為這個界更逼近 f(n) 本身，所以我們一般說 f(n) = O(n^3)，算法的復雜度為大歐 n 的三次方，表示最壞情況。

同理，漸進下界 Ω 剛好與漸進上界相反，表示最好情況。比如還是這個假設：

設 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，我們要求漸進下界。

那么：

f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

兩個 g(n) 都是下界，因為令 c =5 時都存在：0 <= cg(n) <= f(n)。

我們準確評估的時候，要取乘方更大的那個，因為這個界更逼近 f(n) 本身，所以我們一般說 f(n) = Ω(n^3)，算法的復雜度為大歐米伽 n 的三次方，表示最好情況。

我們發現當 f(n) = Ω(n^3) = O(n^3) 時，其實 f(n) = Θ(n)。

另外兩個漸進符號 ο 和 ω 一般很少使用，指不那么緊密的上下界。

也就是評估的時候，不那么準確去評估，在評估最壞情況的時候使勁地往壞了評估，評估最好情況則使勁往好的評估，但是它不能剛剛好，比如上面的結果：

f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4 f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

我們可以說：

f(n) = ο(n^4)，g(n) = n^4 往高階的評估，不能同階 f(n) = ω(n^2)，g(n) = n^2 往低階的評估，不能同階

四、總結

記號含義通俗理解

Θ	緊確界	相當于"="
O	上界	相當于"<="
ο	非緊的上界	相當于"<"
Ω	下界	相當于">="
ω	非緊的下界	相當于">"

我們一般用 O 漸進上界來評估一個算法的時間復雜度，表示逼近的最壞情況。其他漸進符合基本不怎么使用。

緊確界 | 相當于"=" |
| O | 上界 | 相當于"<=" |
| ο | 非緊的上界 | 相當于"<" |
| Ω | 下界 | 相當于">=" |
| ω | 非緊的下界 | 相當于">" |

我們一般用 O 漸進上界來評估一個算法的時間復雜度，表示逼近的最壞情況。其他漸進符合基本不怎么使用。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法复杂度及渐进符号的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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