短圓弧(一般為30o以下圓心角所對應的圓弧)的測量在實際測量中有許多應用，如測量樣板、異形零件等。常用的非完整圓弧半徑測量方法包括圓弧樣板法、卡尺法和弓高弦長法等，這些方法的精度、量程、特點和應用場合不同。圓弧樣板法僅用于檢驗圓弧半徑是否在公差帶范圍內；卡尺法適用于精度不高的場合，測量范圍受弧長的限制，卡尺量程受橫向定位架的限制；而弓高弦長法的操作比較繁瑣。上述方法一般只用于對工件做靜態的離線測量。短圓弧測量的難點在于圓弧上的特征點數少，受到的噪聲大。下面介紹用三坐標(CMM)對大半徑短圓弧的測量方法。

CMM測量大半徑短圓弧的誤差分析

從測量原理上講，CMM直接測得的是被測工件上一些特征點的坐標位置，為了獲得被測參數值，需要通過測量軟件的數據處理和運算。因此，被測參數的測量精度主要與CMM的系統誤差、測頭系統誤差、工件形狀誤差、算法誤差、環境誤差、采樣策略和敏感系數等因素有關。而對于大半徑短圓弧測量，采樣策略和敏感系數對精度的影響更大。

1、采樣策略對CMM測量的影響

采樣策略是指如何在被測物體表面合理安排采樣點，采集多少點最為合理，且使檢測誤差達到最小。所謂合理是指在同一臺測量機上，在相同的環境下，測量同一個零件，怎樣安排測量點的位置和測量點數，可以獲得較高的測量準確度，且耗費的時間比較經濟。采樣數量和采樣位置會影響測量結果的原因在于：

1)被測元素并非理想元素，存在形狀誤差；

2)CMM采點及計算方法有局限性，存在測量誤差。

以圓為例說明采樣策略對測量結果的影響：圖1實際圓形具有三葉形誤差，當測量點在a、b、c三點時，測得的直徑為最小；當測量點選擇在A、B、C三點時，測得的直徑最大，由于工件任意擺放，測得的可能是他們之間的任意值。這是被測元素形狀誤差對測量結果的影響。

圖2為采樣點對圓參數測量結果的影響，如果采樣點選在A、B、C三點，測得的圓直徑如圖中圓3所示，如果選在A'、B'、C'三點，則測得的直徑很大，如圓1所示；若在A'、C'兩點的測量誤差向外，而B'點的誤差向內，測得的圓直徑更大，如圓4所示。

由圖1和圖2可以看出，采樣策略對測量結果影響較大，因此如對測量結果有異議，可考慮改變采樣策略多測幾次，然后分析結果，給出正確的測量數據。

2. 敏感系數對CMM測量的影響

測量機測空間點坐標精度很高，但并不等于對具體的對象(例如圓弧)所作的結論精度很高，這是因為從點坐標到具體對象所需的結論參數有一個計算的過程(所以測量機是一個測量加計算的設備)，很多問題是數學產生的，測量機的數學方法一般基于空間解析幾何的運算。

例如用三點來測圓弧，是用每兩點連線的中垂線相交來求圓弧半徑及中心點位置，當這三點所夾中心角越小時，各點的精度對兩點中垂線相交點位置影響就越大，常用“敏感系數”來量化的表示結論和初始參數之間的關系，即用它來評價測量點誤差對被測結果的影響。對于一些一般數學方法處理，這種方法應當重復性好，并為生產所接受。

敏感系數表示測量結果受初始測量要素影響的大小。以下是對于大半徑短圓弧測量中敏感系數的分析。

三點測圓時兩點夾角對中心位置及半徑測量的影響一大半徑短圓弧測量的理論解釋：若三點測圓時，三點相對于Y軸對稱分布，兩點間中心角為θ，那么半徑對測點的徑向敏感系數σ1，(如圖3所示)由下述公式決定，

圓心X坐標對測點徑向位置的敏感系數 σ2(如圖4所示)為

圓心Y坐標對測點徑向位置的敏感系數 σ3(如圖5所示)為

面對同一個檢測對象，根據不同的檢測方案，不同的中心夾角，可以測出不同的結果，而且可能有不同的精度，例如三點測圓測量方案1(圖1)比測量方案2(圖2)的誤差要小得多，所以前面引入了一個敏感系數的概念。在圖2中假設圓是理想圓，但測量機不是理想機，即所測點坐標位置有變化，假設每一點徑向的精度為1um，當弧的中心角為120o時，半徑的偏差為0.5um，而弧的中心角為10o時，半徑偏差達到80um。

圖3~圖5中可以看到當中心角小于30°時，半徑及弧中心位置對取點的徑向誤差的敏感系數均急劇變大，相應的標準偏差亦大大加大。

經分析，短圓弧(圓心角小于30度以下)之所以成為難題，就是無論你用什么測量儀器，用什么測量方法，都必須在測量的短圓弧上取點。由于各種因素，也就必然會產生取點誤差。例如被測的短圓弧R值的敏感系數σ1，按圖3和圓心坐標Y的敏感系數σ3，按圖5所示為100左右。在一般的儀器上正常的采點誤差，假設為0.003mm，然后還用通常的計算方法，那么最后反映到R值和圓心坐標Y上，誤差就會擴大100倍而成了0.003 x 100=0.3mm。這無論是通過計算分析，還是實踐經驗都能證明的事實，并已在精密測量界得到了確認。那么這擴大了100倍后的誤差結果顯然是無法接受的。所以短圓弧是無法用通常測量圓的方法來進行。

減小CMM測量大半徑短圓弧誤差的方法

1)密集采點

利用已知點的坐標值，通過最小二乘的數學方法，回歸求出圓弧半徑及圓心，為了提高精度要密集采點甚至掃描采點的方法，但在中心夾角小時，誤差仍較大。如果是測量整圓的話，測量的點數奇、偶都沒有太大的影響。但是如果是測量圓弧段的話，測量的點數要盡量選擇奇數，因為只有奇數才能夠采到圓孤的最高點，而且在短圓弧上點數應該盡可能的多點，采的點數越多軟件越能通過最小二乘法原理反映圓弧本身。

2)分段密集采樣的圓心的最小二乘法

分別在短圓弧三點附近密集采點，此三點應盡可能遠離，每一點附近的點的數據作為一組，共三組數據，每組有n個數據；每組取一點，共三點，計算一個圓心及半徑，互相組合后有N=n3個圓心，把N個圓心用最小二乘數學方法回歸，得一點，作為實際圓心，把各點到此圓心的距離的平均值作為半徑，最大、最小距離作為實際公差。

3)圓的最小二乘法+最小條件逼近法

用最小二乘法求出初始圓心，根據精度確定收斂值；預置疊代步長，找出最大距離及最小距離點，按“靠近最大距離點，遠離最小距離點”的原則進行逼近，直到滿足收斂值，這時確定了圓心，隨之確定了半徑。

4)圓心固定法

短圓弧的圓心坐標與R值，在圖紙上標有名義值和公差值。從數學角度講，零件上的短圓弧由設計確定，這圓心坐標與R值是一對完全相關量，只要確定了圓心坐標值，就能相應確定R值。無論從設計者講或對短圓弧的使用功能特性講，還是從加工短圓弧的工藝角度講也都是以圓心坐標為基準值來計算圓弧。

基于上述思想，先按圖紙建立被測工件的零件坐標系，圓心可以通過其他的元素測量和計算得到，誤差只是產生在短圓弧半徑R值的計算上。用三坐標測頭在短圓弧上采點，每采一點就計算出該點到該圓心的距離，輸入圓弧R名義值及其公差來判斷是否合格。

用同樣的方法在短圓弧的起點、終點和中間點，分別測出其半徑值都在公差范圍內為合格，只要有超差，就判不合格。

結語：

關于大半徑短圓弧的測量，必須依據實際零件的要求，結合企業的自身條件，找尋切實可行的測量方法來指導生產實踐。相信隨著測量技術的不斷提升，會出現更多經濟可行的測量方法。

總結

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