外爾

張奠宙

(華東師范大學)

　　外爾，H(Weyl，Hermann)1885年11月9日生于德國的埃爾姆斯霍恩；1955年12月8日卒于瑞士蘇黎世．數學，數學物理．

　　外爾出生在鄰近漢堡的一個小鎮上．父親路德維希(Ludwig)是銀行家，母親安娜(Anna)在家里照料孩子．外爾在鄉鎮上度過了少年時代，并在阿爾托納的一所文法中學讀書．雖說鄉下的孩子往往比較閉塞，見識不廣，但外爾在中學時已讀過Ⅰ．康德(Kant)的《純粹理性批判》(Critique of Puve Reason，1781)．他回憶說：“這書立即打動了我的心．”

　　1904年，外爾從這所中學畢業．當時的校長是德國大數學家D．希爾伯特(Hilbert)的表兄弟，遂將外爾介紹到希爾伯特所在的格丁根大學攻讀數學．從此，外爾踏上了數學之路，并成為日后希爾伯特的繼承人．

　　在格丁根的第一年，外爾讀了許多課程．其中包括希爾伯特的課“化圓為方與數的理論”．新世界的門向他打開了．1905年夏天，外爾帶著希爾伯特的輝煌作品“數論報告”(Der Zahlbericht)回家去．他回憶說：“整個暑假我在沒有初等數論和E．伽羅瓦(Galois)理論這些準備知識的情況下，自己盡力搞懂它．這幾個月是我一生中最快樂的幾個月，經歷了我們共同分擔的疑慮和失敗的許多歲月之后，它的光輝仍撫慰著我的心靈．”外爾曾這樣描述希爾伯特對青年人的影響：“他所吹奏的甜蜜的蘆笛聲，誘惑了許多老鼠追隨他跳入數學的深河”．外爾自己就是這些“老鼠”中的一個．

　　在格丁根讀了一年書之后，外爾按慣例要到另一所大學求學一年．他到了慕尼黑大學．1906年重返格丁根．1907年，外爾投入積分方程的研究．一年之后，以“奇異積分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的論文獲得博士學位．他在格丁根一直呆到1913年．1910年起任無薪講師(privatdozent)，在講授函數論等課程的同時，他開拓了新領域“黎曼面”．

　　1913年，外爾和J．海倫(Joseph Helen)結婚．海倫是格丁根大學哲學系的著名才女．他們有兩個兒子．其中J．外爾也是數學家．父子曾合著《亞純函數和解析曲線》(Meromorphicfounctions and analytic curves，1943)．

　　就在結婚的同一年，外爾受聘為位于蘇黎世城的瑞士聯邦工學院的教授．這時，大物理學家A．愛因斯坦(Einstein)也在那里執教，他們經常交談．愛因斯坦的物理學新思想給外爾留下了深刻的印象．

　　1915年，正值第一次世界大戰，外爾服了一年兵役．1916年重返蘇黎世．此后的十余年，是外爾數學創造的全盛時期．外爾在蘇黎世的生活是幸福的；他曾說，那時打擾他平靜生活的最糟糕的事是外國大學請他去執教的一連串邀請．但是在內心深處，外爾仍然向往格丁根大學，希望回到希爾伯特身邊．因為他的“根”在那里，他要到那里攝取營養，獲得新的動力．1923年，格丁根大學邀他回去接替退休的F．克萊因(klein)．當時德國政治形勢動蕩，經濟一團糟．外爾躊躇再三，拿著“接受邀請”的電文到電報局，可到了拍發時，又改變了主意，辭謝了邀請．1930年夏天，格丁根大學又邀他回去接替希爾伯特．盡管這時德國政治、經濟形勢仍然不好，但外爾終于接受了邀請．他寫信給老師：“應召作為你的繼任，我內心的欣喜和自豪是無法用言詞來形容的”．

　　但是外爾在格丁根沒有呆很長時間．30年代的德國，法西斯的濁流在到處蠢動，排猶的風潮越演越烈．外爾本人雖不是猶太人，可是他的妻子海倫是半個猶太人．1933年1月，希特勒上臺，局勢極度動蕩，大批猶太科學家離開德國．作為格丁根大學數學研究所的領導人，整個春天和夏天，外爾寫信，去會見政府官員，但什么也改變不了．夏日將盡，人亦如云散．外爾去瑞士度假，仍想回德國，希望通過自己的努力來保住格丁根的數學傳統．可是美國的朋友極力勸他趕快離開德國：“再不走就太晚了！”美國普林斯頓高級研究院為他提供了一個職位．早在那里的愛因斯坦說服了外爾．從此，他和海倫在大西洋彼岸渡過了后半生．

　　到普林斯頓時，外爾已經48歲，數學家的創造黃金時期已經過去．于是他從“首席小提琴手”轉到“指揮”的位置上．他象磁石一樣吸引大批數學家來到普林斯頓，用他淵博的知識、深邃的才智給年輕人指引前進的方向．普林斯頓取代格丁根成為世界數學中心，外爾的作用顯然是舉足輕重的．無數的年輕人懷念外爾對他們的幫助，用最美好的語言頌揚他的為人，其中有一個是中國學者陳省身．1985年，陳省身回憶他和外爾的交往時寫道：

　　“我1943年秋由昆明去美國普林斯頓，初次會到外爾．他當然知道我的名字和我的一些工作．我對他是十分崇拜的．……外爾很看重我的工作，他看了我關于高斯(Gauss)-博內(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜．我們有很多的來往，有多次的長談，開拓了我對數學的看法．歷史上是否會再有象外爾這樣廣博精深的數學家，將是一個有趣的問題．”

　　外爾在美國也繼續做一些研究工作．他寫的《典型群，其不變式及其表示》 (The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代數數論》(Algebraic theory of numbers，1940)使希爾伯特的不變式理論和數論報告在美國生根開花．他的“半個世紀的數學”(A half-century of mathematics，1951)更成為20世紀上半葉數學的最好總結．他還在凸多面體的剛性和變形(1935)、n維旋量黎曼矩陣、平均運動(1938—1939)、亞純曲線(1938)、邊界層問題(1942)等方面作出貢獻．

　　外爾的妻子于1948年逝世．1950年，他又和B．愛倫(Ellen)結婚．外爾在1951年退休，但他在普林斯頓的職位仍然保留著．以后他在普林斯頓和蘇黎世兩地居住．1954年，外爾在第十二屆國際數學家大會上講話，介紹菲爾茲獎獲得者小平邦彥(小平邦彥，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞爾(Serre) 的工作．第二年，70壽辰的祝壽活動之后不到一個月，外爾在郵局寄信時突然心臟病發作，于1955年12月8日與世長辭．

　　外爾的著作生前出版過選集．1968年，施普林格(Springer)出版社發行外爾的《論文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十幾本書．

　　外爾一生的科學工作，可以分為四個時期：格丁根時期(1904—1913)；蘇黎世時期(1913—1930)；第二格丁根時期(1930—1933)；普林斯頓時期(1933—1955)．他的數學工作幾乎遍及整個數學．其中包括奇異積分方程、微分方程、數學物理方法、希爾伯特空間，吉布斯(Gibbs)現象、狄利克雷原理、模1分布、概周期函數、亞純曲線變分學等分析課題，凸體的表面的剛性、拓撲學、微分幾何中的聯絡、黎曼面等幾何課題，李群的不變量、李群的表示、代數理論、邏輯等代數課題，以及相對論、量子論、哲學、科學史等課題．他的許多工作成為20世紀一系列重要數學成就的出發點．外爾的研究足跡緊緊追隨著整個科學的進展，從廣義相對論到量子力學，一直在科學的前沿上弄潮．許多人認為，時至今日，通曉整個數學的數學家似乎已經沒有了．外爾也許是能做到這一點的最后一人．

　　外爾在格丁根時期的初期研究工作，可以說完全在希爾伯特的影響下進行．他在格丁根的博士論文題目正是希爾伯特當時鐘愛的研究課題：積分方程．

　　1910年，外爾在為獲得無薪講師職位發表就職演講時，作出了他在數學上第一個重要工作：二階線性微分方程的奇異邊界條件．眾所周知，經典的斯圖姆(Sturm)-劉維爾(Liouville)問題是求解自共軛微分方程

　　　　

　　其中0≤x＜l，p(x)＞0，q(x)為實值函數，解y(x)必須滿足下列邊界條件：

　　y′(0)－wy(0)=0， (2)

　　y′(l)－hy(l)=0， (3)

　　這里w，h都是實數．這時，人們知道：當λ取一列非負實數λ_n(λ_n→∞)時，方程(1)存在非平凡解．這一數列稱為方程的譜，每個λ_n稱為方程的特征值(本征值)，相應的解y_n(x)稱為特征函數(本征函數)．這時y_n(x)好象sin nx，cos nx一樣可以作為正交基，使每個函數可以按y_n(x)展為級數，正象函數關于cos nx和sin nx展為三角級數一樣．

　　外爾研究l=+∞的奇異情形．他的想法是令λ取復數值．于是對給定的h，會存在復數w(λ，h)滿足邊界條件(2)，(3)．當h取遍一切實數值時，點w(λ，h)在某圓C_l(λ)上．此時，外爾看到，當l→+∞時，C_l(λ)(λ固定)形成一族圓，其極限或者是圓或者是一點．這兩種情形的出現與λ的選擇無關．如果有“極限圓”，那么(1)的解都在[0，＋∞)上平方可積，而在“極限點”情形，(1)只有一個解(差一常數因子)是平方可積的．

　　在后來由馮·諾依曼(von Nenmann)創立的無界對稱算子理論中，一個微分算子可以作自伴擴張的充要條件是兩個虧指數n₊和n_-相等．外爾在這里提供了斯圖姆-劉維爾算子P(x，D)(對稱算子)進行自共軛擴張的第一個例子．在a＜x＜b情形，如果a，b分別趨于0和∞時都是極限點型，則n₊=n_-=0．算子P(x，D)已經是自伴的．如果0和∞分別是極限圓型和極限點型，則n₊=n_-=1，其自伴擴張用一個邊界條件得出．若二者都是極限圓型，則n₊=n_-=2，算子P(x，D)可用兩個邊界條件決定其自伴擴張．本世紀偏微分算子理論的長足進展，外爾的這一結果可說是其先驅．

　　外爾并沒有停留在自伴擴張問題上．他將關于與離散譜λ_n相應的特征函數y_n(x)的級數展開，推廣到連續譜λ的特征函數y_λ(x)的積分展開，從而為卡萊曼(T．Carleman)積分算子理論開辟了道路．更引人注目的是外爾對大物理學家H．A．洛倫茲(Lourentz)1910所提問題的回答．1910年，洛倫茲在格丁根講演時提到，能否由聽鼓聲推知鼓的形狀？這等于由一個橢圓方程△u+λu=0的本征值λ_n　(即鼓膜振動的自然頻率)來確定鼓膜形狀．外爾研究了更一般的問題，提出了在希爾伯特空間H上的緊自伴算子特征值的直接計算方法(即不必先求出λ₁，…，λ_n-1再來計算λ_n)，后人稱之為“極大極小方法”，這套本征展開理論，為洛倫茲問題的解決提供了鑰匙．人們要求知道當λ很大時，小于λ的特征值的個數N(λ)，其中

　

　　v是本征頻率，v是波在鼓膜中的傳播速度．外爾證明了

　

　　這里A是鼓膜的面積．這恰好證實了洛倫茲的猜想：頻率在v和dv之間的充分高的諧波數目與邊界的形態無關，僅和它圍成的面積成正比．

　　這項工作相當漂亮．1954年5月，外爾在洛桑作演講．當他回憶這段往事時，寫了如下的話：

　　“這個問題的結論雖然在前些時候已被物理學家猜想到．然而對大多數數學家來說，這一結果似乎是在很遙遠的將來才能作出證明的．當我狂熱般地作出證明時，我的煤油燈已開始冒煙．我剛完成其證明．厚厚的煤煙灰就象雨一樣從天花板上落到我的紙上、手上和臉上了．”

　　這套“聽音辨鼓”的理論近幾年又出現新的高潮，現在有了更精確的估計，甚至可以決定表示鼓上孔的數目的拓撲參數．將平面鼓膜推廣到高維的流形上去，仍是成為許多人追逐的課題．

　　外爾在追隨希爾伯特研究積分方程和微分方程之后，從1911到1912年開辟了自己的新研究方向：黎曼面．這時，外爾在格丁根大學講授函數論課程．復值多值函數依靠黎曼
曼面的構造一直依靠直觀想象，并用自然語言加以描述．外爾一面授課，一面構思嚴格的黎曼面理論．年僅26歲的外爾爆出了天才的火花．他將黎曼面R看成被R中各點的鄰域U所覆蓋，而每一鄰域U又附以從U到復平面的映射ψu．外爾把所有由(U，ψu)構成的全體記作．如果滿足(1)中所有U的并集即是R，(2)當V=U₁∩U₂非空上區域ψu2(V)到復平面區域ψu₁(V)的復變函數．我們假)看作黎曼面．在20世紀數學史上，外爾的這一想法是劃時代的(上面的敘述已采用現在常用的形式)．首先，他采用了鄰域思想，無疑為點集拓撲學的出現催生．其次，黎曼面用現在的眼光來看乃是復一維流形．在20世紀大放異采的復流形理論即導源于此．第三，外爾指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函數的多值性直觀化的手段，而且是這個理論的本質部分，是解析函數能在其上生長和繁榮的唯一土壤”．它開創了現代函數論．第四，黎曼面的虧格、分類等導向同調和同倫論，為代數拓撲的誕生指引了方向．外爾這一工作，幾乎影響了20世紀的整個純粹數學．1913年《黎曼面的觀念》(Die Idee der Riema-nnschen Flche)出版．從中人們可以看到希爾伯特的鄰域公理化方法，L．E．J．布勞韋爾(Brouwer)使用的單純形方法，H·龐加萊(Poincare)的基本群觀念以及曲面的指向等嚴格理論．

　　外爾結束了格丁根大學的函數論教學工作．

　　外爾在蘇黎世時期(1913—1930)的工作是極其輝煌的．他在1914年完成了關于模1等分布的研究，人們將它看作解析數論的新篇章．這一工作的發表因第一次大戰而推遲到1916年．

　　所謂實數列｛x_n｝以模1等分布，是指x_n　的小數部分y_n均勻地分布在［0，1］內，即對任何［0，1］的β，n)是指前n個實數x₁，…，x_n　的小數部分y₁，…，y_n落在［α，β］中的個數．｛x_n｝模1等分布也可用積分描述為：對任何在[0，1]上有界的黎曼可積函數f(x)，有

　

　　這就使我們能用分析工具來研究數論問題．但是使外爾最值得驕傲的是下列基本定理：

　　｛x_n｝模1等分布的充要條件是：對任何非零整數h，當N→∞時

　

　　由此可以推出，若P(x)是首系數為無理數的多項式，則p(n)是等分布的．若θ是無理數，則實數列{nθ}是等分布的(這結果早些時候為P．博爾(Bohl)等數學家用純算術方法得到過)．這一基本定理的證明借助于對多項式指數和的一項估計，現稱為外爾不等式．多項式指數和與調和分析緊密相連，而外爾在研究微分算子譜論時成天與調和分析打交道，因而他從分析學轉向數論研究乃是順理成章的．多項式指數和問題與E．華林(Waring)問題(任何正整數k，總存在g(k)，使k可表示為S(≥g(k)個k次冪之和)及ζ函數的黎曼猜想(ζ函數的非顯然零點全部都在直線Res=1／2上)等密切相關．這一工作后來為蘇聯的И．M．維諾格拉多夫所改進，用于堆壘素數論．我國的華羅庚及其學生們在這一方向上有突出的貢獻．

　　1916年，當外爾從兵營回到工學院講臺時，愛因斯坦的廣義相對論問世不久，一場物理學研究的浪潮席卷全球．外爾毫不猶豫地投身其中．1916到1917年，他在蘇黎世的聯邦工學院講授相對論課程時，力圖把哲學思想、數學方法以及物理學理論結合起來，用自己的思想清晰而嚴格地闡述廣義相對論．講稿在1918年以《空間、時間、物質》(Raum、Zeit、Malerie)的書名正式出版，五年之內再版五次，成為年輕人的心愛之物．大物理學家W．K．海森伯(Heisenberg)等都從此書中得到教益．

　　1917—1919這幾年間，外爾在幾何學與物理學上作出了巨大貢獻．他受到愛因斯坦在廣義相對論中研究引力場的鼓舞，企圖提出一種既包括引力又包括電磁力的幾何理論，即通過發展幾何學來完成“統一場論”的構想．雖然“統一場論”經過努力(包括愛因斯坦本人的努力)至今仍未建立起來，但是外爾一系列的研究成果卻深刻地影響著當代物理學的進展．

　　外爾首先對作為相對論數學框架的黎曼幾何加以改造和擴展．黎曼幾何依賴于一種度量，它是微分二次型：

　

　　曲率就依這一度量而確定．愛因斯坦的引力理論依賴于二次型，而電磁理論只依賴于一次型．外爾根據前人結果已看到曲率可以通過向量的平行移動而得到．在特殊情形下，這是容易理解的∶a，b是直線l上兩點，a處向量P_a沿l平行移動到b處為P_b，此時P_a與l的夾角等于P_b與l的夾角，P_a沿l且保持與l夾角不變的移動稱為平行移動．Pa沿l平行移動到b再平行移動回到a，夾角一直不動，夾角變化量為0，所以直線的曲率也是零．在半徑為r的球面上一點a處有一向量P_a與過a的大圓l夾角為θ，當P_a沿大圓(測地線)作保持夾角不變的移動(平行移動)轉一圈回到a時，向量P_a實際上轉了一圈，增加了2π的幅角，

　　在黎曼幾何中，曲線xⁱ＝xⁱ(t)，i=1，2，…，n(t₁≤t≤t₂)的長度S由積分表出：

　

　　這里g_ij是度量張量的共變分量．使這積分取得極值的曲線，即測地線滿足方程

　　　

　　一個向量場v^h(t)，如滿足

　

　　則定義為v^h(t)與曲線x^h=x^h(t)平行．由此可以看出：測地線的切

　　外爾注意到上面的平行定義與度量張量g_ij　沒有直接關系，只與克里

　

　　時稱v^h(t)與x^h(t)平行．

　　這樣一來，黎曼幾何就從度量束縛中解脫出來，而由一組函數向量(ξⁱ　)與鄰近的點(xⁱ　+dxⁱ　)的平行向量(ξⁱ　+dξⁱ　)之間的關系為：

　　為仿射聯絡．這種空間稱為仿射聯絡空間，黎曼空間只是其中的一個特例．外爾的這一思想無疑是稍后的E．嘉當(Cartan)的一般聯絡理論的源頭．聯絡概念已構成現代微分幾何的基礎，其意義之重大正如分析學中的微分概念．

　　1918年，外爾發表了著名的論述統一場論的論文．他寫道：“如果黎曼幾何要與自然相一致，那么它的發展所必須基于的基本概念應是向量的無窮小平行移動…．但是一個真正的無窮小幾何必須只承認長度從一點到它無限靠近的另一點作轉移的這一原則．這就禁止我們去假定在一段有限距離內長度從一點轉移到另一點的問題是可積的．…一種幾何產生了”．這樣，外爾的不可積標量因子的想法就產生了．電磁學在概念上可納入一個不可積量因子的幾何想法之中：電磁場依賴于一次型
加到dφ將不改變理論的物理內容，由此得到

　

　　有不變意義，F_μv　可看成等同于電磁場，其中φ_v　=常數·A_μ　，A_μ　是電磁勢．

　　該理論在變換dφ→dφ+d(log λ)下的不變性，即今天稱為“規范不變性”的最早形式．

　　愛因斯坦對外爾的論文預印本十分關注，但后來明確表示反對這篇文章．結果愛因斯坦的意見作為按語加在外爾文章的后面，外爾又寫了一個回答附在末尾．

　　愛因斯坦的異議是說，不可積標度因子理論如果正確，那么從0出發的兩條路徑，由于標度的連續變化，一般將會有不同大小，因而兩個鐘快慢將會不同，時鐘依賴于每個人的歷史，那就沒有客觀規律，也就沒有物理學了．外爾對此作了回答，但未能消除愛因斯坦的異議．1949年，外爾回憶當時的心情說：“在蘇黎世的一只孤獨的狼——外爾，……很不幸，他太易把他的數學與物理的和哲學的推測混在一起了．”

　　1929年，外爾又回到這一課題．由于量子力學的推動，福克(Fock)和F．W．倫敦(London)在1927年指出：外爾的不可積標度因子應當是一個不可積的“相”因子．外爾在1929年的文章中寫道：我曾經希望規范不變原理將引力和磁力統一起來而未獲支持，但這一原理在量子論的場方程中有一個形式上的等價物，

　　一不變性和電荷守恒定律的關系仍與先前一樣．…規范不變性原理具有廣義相對論的特征…．外爾的這些觀點對后世有許多影響，不可積“相”因子消除了愛因斯坦異議，并由實驗證實．不過“統一場論”始終未完成．外爾對自己的研究一直注視著，直到去世前幾個月，他在將1918年的規范理論的論文收入他自己的《論文全集》時，在“跋”中寫了下列的話：

　　“我的理論最強的證據似乎是這樣的：就像坐標不變性保持能量動量守恒一樣，規范不變性保持了電荷守恒．”

　　外爾的規范理論啟發了楊振寧：可以把規范理論從電磁學推廣出去．這就產生了楊振寧-米爾斯(Miles)在1954年提出的非交換規范場理論．這一規范場理論在粒子物理中顯示了強大的生命力，可惜那時外爾已退休，未曾注意及之．

　　外爾的數學研究總是和當代的物理學最新成就聯系在一起．當1925—1926年量子力學剛剛產生的時候，外爾深入地從事李群及其表示的研究，并在1927年把這項研究與量子力學結合起來．1928年，名著《群論和量子力學》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版．差不多每一位在1935年之前出生的理論物理學家，都會在自己的書架上放上這本書．不過，幾乎沒有人去讀它．對物理學家來說，這本書太抽象了．

　　1930年，在該書德文新版的前言中，外爾寫道：

　　“質子和電子的基本問題已經用其與量子定律的對稱性性質的關系來討論了，而這些性質是與左和右、過去和將來以及正電和負電的互換有關．”

　　這里的左和右是指宇稱守恒(P)，過去和將來是指時間反演不變(T)，正電和負電是指電荷共軛不變性(C)．諾貝爾物理獎獲得者楊振寧博士曾評論說：“在1930年，沒有人，絕對沒有人以任何方式猜想這些對稱性是彼此相關的，僅僅在50年代人們才發現他們之間的深刻聯系．”

　　外爾非常喜歡對稱，在1952年寫過《對稱》(Symmetry)的精美小書．也許因為太醉心于對稱，他拋棄了自己提出的不滿足左右對稱的二分量中微子理論(1929)．28年以后的1957年，楊振寧和李政道發現了宇稱不守恒，并由吳健雄等用實驗證實．外爾的二分量中微子理論也得到重新肯定．這時外爾去世已經兩年，人們無法聽到這位理論物理先驅的評論了．

　　讓我們再回到數學上來．外爾在本世紀20年代從事李群和李代數及其表示的研究，可說是外爾數學生涯中最光輝的篇章．

　　本世紀初，G．F．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)和I．舒爾(Schur)等已完成復n階方陣構成的一般線性群GL(n，c)的不可約有理線性表示的工作．由此可知行列式為1的特殊線性群SL(n，c)的所有有理線性表示是完全可約的．1913年，嘉當獨立地完成單復李代數不可約線性表示的工作，并指出有限維半單李代數是完全可約的．

　　外爾創立一種新的方法，將注意力集中于大范圍李群，僅把李代數作為一種工具．1897年A．胡爾維茨(Hurwitz)指出了一種對正交群或酉群構作不變量的途徑：只須將有限群中普通的平均求和代之以緊群上關于不變測度的積分，他不僅研究特殊酉群SU(n)的不變量(韋爾稱之為酉技巧)，而且處理了特殊線性群SL(n，c)的不變量問題．舒爾于1924年借助在SU(n)作用下該群的任何表示空間中一種對稱數量積不變量的存在性，證明SU(n)的完全可約性，他又用酉技巧證明了SL(n，c)連續線性表示的完全可約性和SU(n)的特征標的正交關系．

　　從這些結果出發，外爾首先指出舒爾和嘉當的兩種表示之間的聯系，說明二者能一一對應的原因在于SU(n)是單連通的．其次他研究了正交群的雙葉覆蓋群的存在性．最后，外爾轉入半單李群大范圍理論的研究．這一工作之深刻令人嘆為觀止．

　　外爾首先指出，酉技巧不僅在典型群上有用．他證明，每個半單復李代數，可從一個緊李群的實李代數_u　經過復化(com-plexification)而得到．嘉當曾逐類討論過這一問題，外爾則用半單代數的根代數性質很快得出．這樣，外爾建立了和_u　的線性表示之間的聯系．但是要用酉技巧，還必須證明確實存在以_u　為李代數的緊李群G_u　，而且是單連通的．為了繞過這個困難，外爾證明了緊群G_u　的通用覆蓋群也是緊的．可以說這一結果是外爾論文中最深刻最有活力的核心．

　　這一結果可以有極好的幾何解釋，因而有外爾“房”和外爾“墻”的概念產生．韋爾證明：G_u　的基本群是有限群，因而G_n　是緊群．極大環面T在G_u　中的作用和對角線矩陣群在SU(n)中的作用相似，即每個G_u　中元素是T中一個元素的共軛．G_u　的特征標的正交關系是重要工具．外爾最終提出一個大膽的想法：由“分解”G_u　的無限維線性表示來求得半單群的所有不可約表示．

　　李群的研究和群上調和分析緊密相連．他考慮G_u　上復值連續函數全體F．若按群G_u　上的不變測度定義積分，則F上可定義卷積

　

　　F于是構成群代數．如果考察算子R(f)∶g→f*g，則R(f)是緊的自伴算子，于是就可以用緊算子的譜分解理論加以研究了．更一般地，外爾研究了不變內積．他證明：n維線性空間V上的一般線性群GL(V)中的緊子群G，V上必存在關于G的不變內積：

　

　　利用這一定理，可直接決定所有緊復連通李群．即連通復緊李群必可交換，因此是復環面．外爾還得到：緊李群的李代數必具有不變內積(緊李代數)．

　　外爾的研究都有強烈的背景，豐富的思想和高度的技巧．他用自己的成果開辟了20世紀純粹數學的新天地，并且表明“抽象”方法和傳統的“硬”分析方法完全可以相比美．

　　作為希爾伯特的繼承者，外爾確實發揚了希爾伯特的傳統，且注入了時代精神．微分算子理論、模1等分布論、仿射聯絡理論、連續群論都可以在希爾伯特的積分方程、數論、代數不變量、物理學研究等研究中找到淵源，而相對論、量子力學、拓撲學方法、代數拓撲工具等則使他發展并超越了希爾伯特的范圍．他們師生二人，可以說代表了20世紀上半葉的數學．

　　然而，他們兩人并非完全一致．在數學基礎上，外爾擁護布勞韋爾的直覺主義，不承認實無限，不準濫用排中律，不愿用選擇公理．他的全部工作確實沒有用G．康托爾(Cantor)的超限數理論，而且說康托爾的那一套是“霧中之霧”．外爾把布勞韋爾的觀點介紹給希爾伯特，希爾伯特卻極力反對直覺主義．希爾伯特倡導“形式主義”，企圖證明包含自然數系統的數學體系是無矛盾的和相容的．但是希爾伯特也小心翼翼地把有限步可以達到的結論認為是最可靠的，所以外爾說希爾伯特“從布勞韋爾的直覺主義的啟示中獲益非淺．”1931年，K．哥德爾(Gdel)擊破了希爾伯特的夢想．外爾平靜地和希爾伯特討論事情的前因后果，盡管兩人的意見并未統一．

　　1932年，希爾伯特70壽辰．外爾寫了生日祝辭，表達了他對恩師的崇敬與深情．1943年希爾伯特去世．外爾在《美國數學會公報》(Bulletin of American Mathematical Society，50，pp·612—654，1944)上發表了“大衛·希爾伯特及其數學工作”(DavidHilbert and his mathematical work)的長篇紀念文章(中譯本見《數學史譯文集》，上海科學技術出版社，1981)．

　　外爾在美國繼續做過一些研究工作，例如凸體表面的剛性與形變(1935)，n維的旋量、平均運動(1938—1939)、亞純曲線(1938)、邊界層問題(1942)等．作為20世紀前半葉數學發展的見證人，他對克萊因、希爾伯特、諾特等大數學家的記述和評論，具有很高的歷史價值．1950年，外爾在《美國數學月刊》(Monthly AMS)發表論文“半個世紀的數學”，是一篇極好的學術總結(中譯本見《數學史譯文集續集》，上海科學技術出版社，1985)．

　　最后，我們應當提到外爾的哲學研究．外爾對哲學終生不渝．他早年追隨過康德哲學，后來受E．胡塞爾(Husserl)的影響很深．他的《空間、時間、物質》就是一部物理學、哲學和數學相結合的著作．他在哲學方面主要作品是《數學和自然科學的哲學》(Philosophie der Mathematik und Wissenschaften，1927)．書中的數學部分包括數理邏輯、公理學、數及連續統、無窮，以及幾何學共三章，自然科學部分有空間時間與先驗的外在世界、方法論以及世界的物理圖景，也是三章．書中引用了一百多位哲學家、數學家和自然科學家的原著，對整個問題作了詳盡而清楚的闡述．

　　在數學哲學方面，外爾早在1910年就寫過論文“關于數學概念的定義”(ber die Definitionen der mathematischen Grundbe-griffe)．他將數學看作“一棵自豪的樹，它自由地將枝頭長入稀薄的空氣，同時又從直覺的大地和真實的摹寫中吸取力量”．在同一文章中，外爾認為“連續統的勢的問題，必須從嚴密地建立集合論原理的途徑去解決”．到了1918年，他出版了《連續統》(Das Ko-ntinuum)一書，成為一場集合論爭辯的導火線之一．

　　進入20年代，外爾站在布勞韋爾一邊，贊成直覺主義，反對希爾伯特倡導的形式主義．這在前面已經有所提及．但是外爾在晚年似乎力圖調和這兩方面的沖突．“數學中的公理方法與構造程序”(Axiomatic versus constructive procedures in mathematics)是外爾用英文寫的遺作，大約寫于1953年以后，1985年才公諸于世(The Mathematical Intelligencer vol．7，No．4)．文中說：“現代數學研究的大部分建立在構造程序和公理方法的巧妙結合之上．”例如他從域公理出發，用1a記α，2a記1α+α，3α記2α+α，如此繼續，就得出α的倍數vα，即自然數全體．然后看是否有v使vα=0，表明域的特征數為有限(質數)或∞．

　　外爾曾設想，數學證明必須是一步一步地可被人的直覺檢驗的程序．現在四色問題的計算機證明已突破了外爾的要求，但是構造主義觀點卻由于計算機的發展而倍受重視．外爾說過：“哲學的反思伴隨著歷史的反思．”數學基礎正以新的形式繼續著爭辯．盡管外爾的“調和”并未得到公認，可是歷史也許會再次注意他的數學哲學觀點．

　　外爾逝世已經40年了，但是整個國際數學界仍然時刻感到他的存在．他所創立的深刻數學思想至今還在起著指路燈的作用．他的工作一定會影響到下一個世紀．

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学家外尔的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。