调和分析
調和分析
調和分析起源于Euler,Fourier等著名科學家的研究，主要涉及算子插值方法、極大函數方法、球調和函數理論、位勢理論、奇異積分以及一般可微函數空間等。經過近200年的發展，已經成為數學中的核心學科之一，在偏微分方程、代數數論中有廣泛的應用。
調和分析是研究作為基本波形的疊加的函數或者信號的表示的數學分支。它研究并推廣傅立葉級數和傅立葉變換的概念。基本波形稱為調和函數，調和分析因此得名。在過去兩個世紀中，它成了一個廣泛的主題，內容包括從信號處理、量子力學到神經科學這樣的寬廣領域。
定義于Rn上的經典傅立葉變換仍然是一個處于研究狀態的領域，特別是在關于更一般的對象（例如緩增廣義函數）的傅立葉變換的方向。例如，若我們加上在一個分布f的要求，我們可以試圖用f的傅立葉變換來表達這些要求。Paley-Wiener定理是這樣的一個例子。Paley-Wiener定理直接蘊涵如果f是非0分布，有緊支撐 (這包含緊支撐函數)，則其傅立葉變換從不擁有緊支撐。這是在調和分析下的測不準原理的一個非常初等的形式。參看經典調和分析。
傅立葉級數可以在希爾伯特空間的意義下方便的研究，該空間提供了調和分析和泛函分析的一個聯系。
諧波分析又稱調和分析(harmonic analysis),指用三角函數來擬合數字信號或數字序列.根據擬合函數可以對不同的信號周期,位相及振幅的情況進行了解.
調和分析是分支數學那學習作用的表示法或發信號初學者的多用途符號指令代碼的疊置波浪. 它調查，并且您推斷概念傅立葉系列 并且 傅立葉變換. 初學者的多用途符號指令代碼揮動叫的耕犁“泛音“因此命名“調和分析”，但命名“泛音”在這上下文在它的對整數頻率倍數之外的原義被推斷。在過去二個世紀，它在區域有成為的浩大的主題以應用不同信號處理, 量子力學和 神經科學. 古典傅立葉變換 Rn 仍然是持續的研究范圍，特別關于傅立葉變革對生活將軍對象這樣被磨煉的發行. 如果我們在發行f強加增加要求，我們可以試圖您翻譯這些要求根據f.，傅立葉變換他將是事例。 Paley熏肉香腸定理 是此的例子。 Paley熏肉香腸立刻暗示的定理，如果f是非零的 發行 緊湊支持 (這些包括緊湊支持的作用)，然后它的傅立葉變換是對從未緊湊地支持。這是非常基本的形式的不確定原理在調和分析設置。參見經典調和分析.
傅立葉系列可以方便地被學習就狀況希耳伯特空間提供調和分析之間的連接和功能分析.
抽象調和分析
其中一個調和分析生活現代分支，有它的根在中間- 20 th世紀，是分析在 拓撲學小組. 想法核心刺激耕犁各種各樣傅立葉變換可以被推斷您變換作用定義當地緊湊Hausdorff小組.
理論將是 能成立可換定律 當地 緊湊小組 叫 Pontryagin雙重性; 它被認為您在令人滿意的狀態，他們到解釋調和分析主要特點去。細節它在它熱忱的頁被開發。
調和分析學習那雙重性和傅立葉變換物產; 并且企圖您擴大那些特點您不同的設置，將是您結婚非能成立可換定律的事例狀態群.
Nonabelian當地將是一般緊湊小組，調和分析緊密地相關您單一的成組表示法的理論。他將是緊湊小組，彼得Weyl定理解釋怎么你也許通過選擇一個不可約表示使泛音脫離表示法每相等類。泛音這個選擇享用增加古典傅立葉變換的有用的物產根據運載的卷積您pointwise產品或者否則顯示對強調的某一理解小組結構。
如果小組不是對能成立可換定律和緊湊，在一般令人滿意的理論當前被知道。將由“令人滿意”一個意味至少等值 Plancherel定理. 然而，許多您結婚被分析了的具體，將是例子 SLn. 在這中結婚，它結果那表示法在無限維度戲劇關鍵你滾動
調和分析是分支數學那學習作用的表示法或發信號初學者的多用途符號指令代碼的疊置波浪. 它調查，并且您推斷概念傅立葉系列 并且 傅立葉變換. 初學者的多用途符號指令代碼揮動叫的耕犁“泛音“因此命名“調和分析”，但命名“泛音”在這上下文在它的對整數頻率倍數之外的原義被推斷。在過去二個世紀，它在區域有成為的浩大的主題以應用不同信號處理, 量子力學和 神經科學. 古典傅立葉變換 Rn 仍然是持續的研究范圍，特別關于傅立葉變革對生活將軍對象這樣被磨煉的發行. 如果我們在發行f強加增加要求，我們可以試圖您翻譯這些要求根據f.，傅立葉變換他將是事例。 Paley熏肉香腸定理 是此的例子。 Paley熏肉香腸立刻暗示的定理，如果f是非零的 發行 緊湊支持 (這些包括緊湊支持的作用)，然后它的傅立葉變換是對從未緊湊地支持。這是非常基本的形式的不確定原理在調和分析設置。參見經典調和分析.
傅立葉系列可以方便地被學習就狀況希耳伯特空間提供調和分析之間的連接和功能分析.
調和分析。
調和分析也叫FOURIER分析，形成于18世紀，來源于Fourier級數，主要研究函數的Fourier變換以及相關問題。早期的研究主要是圍繞一元Fourier級數的收斂性、求和法等問題，這些內容在Zygmund的《三角級數》（Trigonometric Series）一書中有詳盡的介紹。多元Fourier級數的近代發展，可以參考陸善鎮、王昆揚著《Bochner-Riesz平均》（北京師范大學出版社）。
20世紀調和分析實變理論得到了深入發展，Hardy-Littlewood極大算子、Littlewood-Paley理論成了近代調和分析的重要工具。50年代奇異積分理論的產生、70年代Hardy空間的實變理論的形成都為當代調和分析的發展注入了新的活力，特別是Calderon-Zygmund奇異積分理論的發展以及在偏微分方程中的應用，可以說是五、六十年代調和分析最為輝煌的成就之一。有關這些問題，可以參考E. M. Stein和G. Weiss著《歐姓空間上的FOURIER分析引論》（上海科學技術出版社）、E. M. Stein著《奇異積分與函數的可微性》、陸善鎮著《H^p空間的實變理論及其應用》（上海科學技術出版社）等。程民德、鄧東皋和龍瑞麟著《實分析》（高等教育出版社）是調和分析的優秀的入門教材。
最近機工影印了一本非常優秀的國外教材《傅里葉分析》（Classical and Mordern Fourier Analysis）（作者：Loukas Grafakos，出版日期：2006年1月）
算子的有界性以及函數空間的刻畫是調和分析的兩個中心內容。近代調和分析的內容還包括群上的調和分析、流形上的調和分析等。目前，調和分析的內容和技巧滲透到了眾多的數學分支，如：偏微分方程、復分析、位勢論、算子理論、非線性分析、概率論等。小波分析可以說是20世紀七、八十年代調和分析及其應用的最重要的發展。
調和分析需要的“最基礎”的知識是：復變函數、實變函數（實分析）、泛函分析等。
傅立葉級數可以在希爾伯特空間的意義下方便的研究，該空間提供了調和分析和泛函分析的一個聯系。
最能把泛函分析和實際問題在一起的另一個重要方向是調和分析 (Harmonic Analysis)。我在這里列舉它的兩個個子領域，傅立葉分析和小波分析，我想這已經能說明它的實際價值。它研究的最核心的問題就是怎么用基函數去逼近和構造一個函數。它研究的是函數空間的問題，不可避免的必須以泛函分析為基礎。除了傅立葉和小波，調和分析還研究一些很有用的函數空間，比如Hardy space，Sobolev space，這些空間有很多很好的性質，在工程中和物理學中都有很重要的應用。對于vision來說，調和分析在信號的表達，圖像的構造，都是非常有用的工具。
當分析和線性代數走在一起，產生了泛函分析和調和分析；當分析和群論走在一起，我們就有了李群(Lie Group)和李代數(Lie Algebra)。它們給連續群上的元素賦予了代數結構。我一直認為這是一門非常漂亮的數學：在一個體系中，拓撲，微分和代數走到了一起。在一定條件下，通過李群和李代數的聯系，它讓幾何變換的結合變成了線性運算，讓子群化為線性子空間，這樣就為Learning中許多重要的模型和算法的引入到對幾何運動的建模創造了必要的條件。因此，我們相信李群和李代數對于vision有著重要意義，只不過學習它的道路可能會很艱辛，在它之前需要學習很多別的數學。
總結
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