本文從一個有趣而又令人意外的實驗展開，介紹一些關于浮點數你應該知道的基礎知識

文章歡迎轉載，但轉載時請保留本段文字，并置于文章的頂部 作者：盧鈞軼(cenalulu) 本文原文地址：http://cenalulu.github.io/linux/about-denormalized-float-number/

一個有趣的實驗

本文從一個有趣而詭異的實驗開始。最早這個例子博主是從?Stackoverflow上的一個問題中看到的。為了提高可讀性，博主這里做了改寫，簡化成了以下兩段代碼：

#include <iostream> #include <string> using namespace std;int main() {const float x=1.1;const float z=1.123;float y=x;for(int j=0;j<90000000;j++){y*=x;y/=z;y+=0.1f;y-=0.1f;}return 0; } #include <iostream> #include <string> using namespace std;int main() {const float x=1.1;const float z=1.123;float y=x;for(int j=0;j<90000000;j++){y*=x;y/=z;y+=0;y-=0;}return 0; }

上面兩段代碼的唯一差別就是第一段代碼中y+=0.1f，而第二段代碼中是y+=0。由于y會先加后減同樣一個數值，照理說這兩段代碼的作用和效率應該是完全一樣的,當然也是沒有任何邏輯意義的。假設現在我告訴你：其中一段代碼的效率要比另一段慢7倍。想必讀者會認為一定是y+=0.1f的那段慢，畢竟它和y+=0相比看上去要多一些運算。但是，實驗結果，卻出乎意料，?y+=0的那段代碼比y+=0.1f足足慢了7倍。?。世界觀被顛覆了有木有？博主是在自己的Macbook Pro上進行的測試，有興趣的讀者也可以在自己的筆記本上試試。（只要是支持SSE2指令集的CPU都會有相似的結果）。

shell> g++ code1.c -o test1 shell> g++ code2.c -o test2 shell> time ./test1real 0m1.490s user 0m1.483s sys 0m0.003sshell>?time ./test2real 0m9.895s user 0m9.871s sys 0m0.009s

當然?原文中的投票最高的回答解釋的非常好，但博主第一次看的時候是一頭霧水，因為大部分基礎知識已經還給大學老師了。所以，本著知其然還要知其所以然的態度，博主做了一個詳盡的分析和思路整理過程。也希望讀者能夠從0開始解釋這個詭異現象的原因。

復習浮點數的二進制轉換

現在讓我們復習大學計算機基礎課程。如果你熟練掌握了浮點數向二進制表達式轉換的方法，那么你可以跳過這節。 我們先來看下浮點數二進制表達的三個組成部分。

三個主要成分是：

• Sign（1bit）：表示浮點數是正數還是負數。0表示正數，1表示負數
• Exponent（8bits）：指數部分。類似于科學技術法中的M*10^N中的N，只不過這里是以2為底數而不是10。需要注意的是，這部分中是以2^7-1即127，也即01111111代表2^0，轉換時需要根據127作偏移調整。
• Mantissa（23bits）：基數部分。浮點數具體數值的實際表示。

下面我們來看個實際例子來解釋下轉換過程。?Step 1 改寫整數部分?以數值5.2為例。先不考慮指數部分，我們先單純的將十進制數改寫成二進制。 整數部分很簡單，5.即101.。

Step 2 改寫小數部分?小數部分我們相當于拆成是2^-1一直到2^-N的和。例如：0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00390625即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8....，也即.00110011001100110011

Step 3 規格化?現在我們已經有了這么一串二進制101.00110011001100110011。然后我們要將它規格化，也叫Normalize。其實原理很簡單就是保證小數點前只有一個bit。于是我們就得到了以下表示：1.0100110011001100110011 * 2^2。到此為止我們已經把改寫工作完成，接下來就是要把bit填充到三個組成部分中去了。

Step 4 填充?指數部分（Exponent）：之前說過需要以127作為偏移量調整。因此2的2次方，指數部分偏移成2+127即129，表示成10000001填入。 整數部分（Mantissa）：除了簡單的填入外，需要特別解釋的地方是1.010011中的整數部分1在填充時被舍去了。因為規格化后的數值整部部分總是為1。那大家可能有疑問了，省略整數部分后豈不是1.010011和0.010011就混淆了么？其實并不會，如果你仔細看下后者：會發現他并不是一個規格化的二進制，可以改寫成1.0011 * 2^-2。所以省略小數點前的一個bit不會造成任何兩個浮點數的混淆。 具體填充后的結果見下圖?

練習：如果想考驗自己是否充分理解這節內容的話，可以隨便寫一個浮點數嘗試轉換。通過?浮點二進制轉換工具可以驗證答案。

什么是Denormalized Number

了解完浮點數的表達以后，不難看出浮點數的精度和指數范圍有很大關系。最低不能低過2^-7-1最高不能高過2^8-1（其中剔除了指數部分全0和全1的特殊情況）。如果超出表達范圍那么不得不舍棄末尾的那些小數，我們成為overflow和underflow。甚至有時舍棄都無法表示，例如當我們要表示一個：1.00001111*2^-7這樣的超小數值的時候就無法用規格化數值表示，如果不想點其他辦法的話，CPU內部就只能把它當做0來處理。那么，這樣做有什么問題呢？最顯然易見的一種副作用就是：當多次做低精度浮點數舍棄的后，就會出現除數為0的exception，導致異常。當然精度失準嚴重起來也可以要人命，以下這個事件摘自wikipedia

On 25 February 1991, a loss of significance in a MIM-104 Patriot missile battery prevented it intercepting an incoming Scud missile in Dhahran, Saudi Arabia, contributing to the death of 28 soldiers from the U.S. Army’s 14th Quartermaster Detachment.[25] See also: Failure at Dhahran

于是乎就出現了Denormalized Number（后稱非規格化浮點）。他和規格浮點的區別在于，規格浮點約定小數點前一位默認是1。而非規格浮點約定小數點前一位可以為0，這樣小數精度就相當于多了最多2^22范圍。

但是，精度的提升是有代價的。由于CPU硬件只支持，或者默認對一個32bit的二進制使用規格化解碼。因此需要支持32bit非規格數值的轉碼和計算的話，需要額外的編碼標識，也就是需要額外的硬件或者軟件層面的支持。以下是wiki上的兩端摘抄，說明了非規格化計算的效率非常低。> 一般來說，由軟件對非規格化浮點數進行處理將帶來極大的性能損失，而由硬件處理的情況會稍好一些，但在多數現代處理器上這樣的操作仍是緩慢的。極端情況下，規格化浮點數操作可能比硬件支持的非規格化浮點數操作快100倍。

For example when using NVIDIA’s CUDA platform, on gaming cards, calculations with double precision take 3 to 24 times longer to complete than calculations using single precision.

如果要解釋為什么有如此大的性能損耗，那就要需要涉及電路設計了，超出了博主的知識范圍。當然萬能的wiki也是有答案的，有興趣的讀者可以自行查閱。

回到實驗

總上面的分析中我們得出了以下結論：

• 浮點數表示范圍有限，精度受限于指數和底數部分的長度，超過精度的小數部分將會被舍棄（underflow）
• 為了表示更高精度的浮點數，出現了非規格化浮點數，但是他的計算成本非常高。

于是我們就可以發現通過幾十上百次的循環后，y中存放的數值無限接近于零。CPU將他表示為精度更高的非規格化浮點。而當y+0.1f時為了保留跟重要的底數部分，之后無限接近0（也即y之前存的數值）被舍棄，當y-0.1f后，y又退化為了規格化浮點數。并且之后的每次y*x和y/z時，CPU都執行的是規劃化浮點運算。 而當y+0，由于加上0值后的y仍然可以被表示為非規格化浮點，因此整個循環的四次運算中CPU都會使用非規格浮點計算，效率就大大降低了。

其他

當然，也有在程序內部也是有辦法控制非規范化浮點的使用的。在相關程序的上下文中加上fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);就可以迫使CPU放棄使用非規范化浮點計算，提高性能。我們用這種辦法修改上面實驗中的代碼后，y+=0的效率就和y+=0.1f就一樣了。甚至還比y+=0.1f更快了些，世界觀又端正了不是么:) 修改后的代碼如下

#include <iostream> #include <string> #include <fenv.h> using namespace std;int main() {fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);const float x=1.1;const float z=1.123;float y=x;for(int j=0;j<90000000;j++){y*=x;y/=z;y+=0;y-=0;}return 0; }

Reference

什么是非規格化浮點數?Why does changing 0.1f to 0 slow down performance by 10x??IEEE floating point?Floating point?Denormal number

總結

以上是生活随笔為你收集整理的你应该知道的浮点数基础知识的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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