尼古拉斯?伊萬諾維奇?羅巴切夫斯基是一個(gè)小官吏的第二個(gè)兒子，1793 年 11 月 2 日出生在俄國的諾夫哥羅德轄區(qū)的馬卡里耶夫地區(qū)。1807 年他進(jìn)了喀山大學(xué)。此后，他作為學(xué)生、副教授、教授，最后作為校長，在該校度過了他一生中的 40 年時(shí)間。

喀山大學(xué)領(lǐng)導(dǎo)希望能夠與歐洲大學(xué)相匹敵。他們從德國請(qǐng)來了幾位杰出的教授，其中有天文學(xué)家利特羅，他后來成為維也納天文臺(tái)的臺(tái)長。德國教授們很快看出了羅巴切夫斯基的天賦，并且給了他充分的鼓勵(lì)。1811 年，羅巴切夫斯基 18 歲時(shí)，獲得了碩士學(xué)位。兩年后，羅巴切夫斯基 21 歲時(shí)擔(dān)任了見習(xí) "編外教授"，就是助理教授。

1816 年，23 歲的羅巴切夫斯基晉升為普通教授。他除了數(shù)學(xué)工作以外，他還要教授天文學(xué)和物理課程。不久，羅巴切夫斯基已成為大學(xué)圖書館的館長和大學(xué)博物館的館長。羅巴切夫斯基在 1827 年被任命為校長。

當(dāng)政府決定使學(xué)校的建筑現(xiàn)代化并增加新的建筑時(shí)，羅巴切夫斯基把這件事當(dāng)做他自己的事情，要做到既把工作做好，又不浪費(fèi)一分錢。為了使自己能勝任這個(gè)任務(wù)，他學(xué)習(xí)了建筑學(xué)。他精通了這門學(xué)科，而且非常注重實(shí)際，因而這些建筑物不僅美觀、實(shí)用，而且造價(jià)低于所撥給的經(jīng)費(fèi)，這在官方建筑史上可算是獨(dú)一無二的。若干年后（1842 年），一場災(zāi)難性的大火毀了半個(gè)喀山，也毀了羅巴切夫斯基那些最優(yōu)美的建筑，包括剛剛建成的天文臺(tái) —— 他引以自豪的得意之作。不過由于他頭腦冷靜，儀器和圖書館得以保存下來。火災(zāi)之后，他立即著手重建。兩年后，這場災(zāi)難已不留絲毫痕跡。

1842 年，即發(fā)生火災(zāi)的這一年，也是在高斯的斡旋下，羅巴切夫斯基以他對(duì)非歐幾何的創(chuàng)造，被選為哥廷根皇家學(xué)會(huì)外國通信院士。令人難以置信的是，像羅巴切夫斯基這樣擔(dān)負(fù)著過分繁重的教學(xué)和行政工作的人竟然還能找出時(shí)間，創(chuàng)造了全部數(shù)學(xué)中最偉大的杰作之一，與人類思想的一個(gè)里程碑。這項(xiàng)工作他斷斷續(xù)續(xù)地干了 20 年。他在非歐幾何上的第一次公開通信是在 1826 年。高斯直到 1840 年左右才聽到這項(xiàng)成就。

羅巴切夫斯基的非歐幾何

要了解羅巴切夫斯基所做的工作，我們必須首先看看歐幾里得的突出成就。他的《幾何原本》除了系統(tǒng)記述了初等幾何以外，還包含所有他那個(gè)時(shí)代已知的數(shù)論知識(shí)。幾何教育受歐幾里得控制超過了 2200 年。

歐幾里得承認(rèn)，他的第五公設(shè)（平行公設(shè)）是一個(gè)純粹的假設(shè)。第五公設(shè)可以用許多等價(jià)的形式來陳述，每一種形式都能利用歐幾里得幾何的其余公設(shè)，由其他形式推斷出來。也許這些等價(jià)的陳述中最簡單的一個(gè)是這樣的：

已知任意直線 I 和不在 I 上的一個(gè)點(diǎn) P，那么在由 l 和 P 決定的平面上，可以畫出恰好一條經(jīng)過 P 點(diǎn)的直線 I'，使得不管 I' 和 l（朝任何一個(gè)方向）延長到多遠(yuǎn)，它們都不會(huì)相交。

我們說在一個(gè)平面上的兩條永不相交的直線是平行的。這樣，歐幾里得的第五公設(shè)斷言，過 P 點(diǎn)恰好有一條直線平行于 l。歐幾里得對(duì)幾何性質(zhì)透徹的洞察力使他相信，在他那個(gè)時(shí)代，這個(gè)公設(shè)沒有從其他公設(shè)中推斷出來，盡管有過很多證明這個(gè)公設(shè)的嘗試。由于歐幾里得本人無法從他的其他公設(shè)中推出這個(gè)公設(shè)，又希望在他的許多定理的證明中用它，于是他就老老實(shí)實(shí)地把它和他的其他公設(shè)放在一起了。

我們已經(jīng)提到平行公設(shè)的那些“等價(jià)”的說法。其中的一個(gè)，稱為 " 直角假設(shè) "，暗示著兩種可能性，而這兩種可能性都不能與歐幾里得的假設(shè)等同，一種是引進(jìn)羅巴切夫斯基幾何，另一種是引進(jìn)黎曼幾何。

考慮一個(gè) "看上去像" 矩形的圖形 AXYB，它包含 4 條直線 AX，XY，YB，BA，其中 BA 是底，AX 和 YB 畫成等長且垂直于 AB，并在 AB 的同一邊處。關(guān)于這個(gè)圖形，應(yīng)記住的要點(diǎn)是，角 XAB、角 YBA 都是直角，邊 AX、BY 的長度相等。不用平行公設(shè)，能夠證明角 AXY、角 BYX 相等，但是，不用這個(gè)公設(shè)，不可能證明角 AXY 和角 BYX 是直角，雖然它們看上去像直角。如果我們假定平行公設(shè)，我們就能證明角 AXY 和角 BYX 是直角，反過來，如果我們假定角 AXY 和 BYX 是直角，我們就能證明平行公設(shè)。因此，角 AXY 和 BYX 是直角這個(gè)假定等價(jià)于平行公設(shè)。這個(gè)假定今天稱為 "直角假設(shè)"。

我們知道，直角假設(shè)導(dǎo)致無矛盾的、實(shí)用的幾何，事實(shí)上應(yīng)該說，導(dǎo)致了經(jīng)過革新以滿足邏輯嚴(yán)格性的現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)的歐幾里得幾何。但是這個(gè)圖形提供了另外兩種可能性：相等的角 AXY、BYX 都小于直角 ———— 銳角假設(shè)；相等的角 AXY、BYX 都大于直角 ——— 鈍角假設(shè)。由于任何一個(gè)角都滿足等于、小于或大于直角的三種要求之一，而且只滿足其中之一，所以這三個(gè)假設(shè) —— 分別為直角假設(shè)、銳角假設(shè)、鈍角假設(shè)。

共同的經(jīng)驗(yàn)使我們首先傾向于第一個(gè)假設(shè)。為了看出其他的假設(shè)可能并不像初看上去那樣不合理，我們要考慮一些與歐幾里得想象中的，把圖形畫成高度理想化的“平面”相比，更接近于人類實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的東西。但是我們首先注意到，銳角假設(shè)和鈍角假設(shè)都不能使我們證明歐幾里得的平行公設(shè)，因?yàn)檎缟厦嬲f過的，歐幾里得的公設(shè)與直角假設(shè)是等價(jià)的（在相互推斷的意義上，直角假設(shè)對(duì)于平行公設(shè)的推斷既是必要的又是充分的）。因此，即使我們成功地在兩個(gè)新假設(shè)之一上構(gòu)造出了幾何，我們也不會(huì)在這些幾何中發(fā)現(xiàn)歐幾里得意義上的平行。

為了使其他的假設(shè)不像它們初看上去那樣不合理，假定地球是一個(gè)完美的球體。畫一個(gè)平面穿過這個(gè)理想地球的中心，它與地球表面交出一個(gè)大圓。假定我們希望在地球表面上從一個(gè)點(diǎn) A 到達(dá)另一個(gè)點(diǎn) B 的過程中總是在球面上，并進(jìn)一步假定我們希望走可能的最短路徑。

上述例子引進(jìn)了一個(gè)重要的定義，即曲面上的測地線的定義。我們剛剛看到，連結(jié)地球上兩點(diǎn)的最短距離，它本身是在球面上度量的距離，是連結(jié)它們的大圓的一段弧。我們也看到，連結(jié)兩個(gè)點(diǎn)的最長距離是同一個(gè)大圓上的另一段弧，除非這兩點(diǎn)是直徑的兩端，那時(shí)最短距離與最長距離相等。我們現(xiàn)在回想在平面上連結(jié)兩點(diǎn)的直線段的定義 ——“兩點(diǎn)之間的最短距離”，把這個(gè)定義應(yīng)用到球面上，我們說球面上的大圓相當(dāng)于平面上的直線。由于希臘文的地球是測地線（geodesic）的第一個(gè)音節(jié) ge，我們稱在任意曲面上連結(jié)任意兩點(diǎn)的一切極限為曲面的測地線。這樣，在平面上，測地線是歐幾里得的直線；在球面上，測地線是大圓。一條測地線可以看成是一根線在曲面上的兩點(diǎn)之間盡可能繃緊時(shí)的位置。

現(xiàn)在，至少在航海中，甚至在考慮中等距離時(shí)，就不能把海洋看成是一個(gè)平面；而要把它看作是與之非常近似的東西，即一個(gè)球面的一部分，大圓航海法的幾何不是歐幾里得幾何，因此歐幾里得幾何不是人類實(shí)用的唯一的幾何。在平面上，兩條測地線恰好相交于一個(gè)點(diǎn)，除非它們是平行的；但是在球面上，任意兩條測地線總是恰好相交于兩個(gè)點(diǎn)。再有，在平面上，任何兩條測地線都不能圍出一個(gè)空間；在球面上，任意兩條測地線總是圍成一個(gè)空間。

現(xiàn)在想象球面上的赤道和兩條經(jīng)過北極垂直于赤道的測地線。在北半球、這產(chǎn)生了一個(gè)曲邊三角形 WNE，有兩條邊是相等的。這個(gè)三角形的每一邊是一段測地線的弧。任意作與兩條等長的邊相交的另一條測地線，使得赤道和這條交線之間截下的兩個(gè)部分相等?，F(xiàn)在我們?cè)谇蛎嫔嫌辛讼鄳?yīng)于我們剛才在平面上有的四邊形 AXYB。這個(gè)圖形的底邊的兩個(gè)角是直角，并且對(duì)應(yīng)的兩邊相等。但是在 X、Y 處的兩個(gè)相等的角現(xiàn)在都大于直角。所以，在大圓航海法的幾何中（它比初等幾何所得到的理想化的圖形更接近于真實(shí)的人類經(jīng)驗(yàn)），真實(shí)的不是歐幾里得的公設(shè)，而是由鈍角假設(shè)得到的幾何。

以同樣的方式，觀察一個(gè)較不熟悉的曲面，我們能使銳角假設(shè)成為合理的。這個(gè)曲面看上去像大的一端焊在一起的兩個(gè)無限長的喇叭。

為了更精確地描述它，我們必須介紹稱為曳物線的平面曲線，它是這樣生成的：在一個(gè)平面上畫兩條直線 XOX'，YOY'，在 0 點(diǎn)處相交成直角。想象沿著 YOY 有一根不可拉長的纖維，在它的一端綁著一個(gè)很重的小球；纖維的另一端在 0 點(diǎn)。沿著直線 OX 將這一端往外拉。由于小球跟著運(yùn)動(dòng)，它就畫出了曳物線的一半；另一半由沿著 OX' 拉動(dòng)纖維的這一端畫出來，當(dāng)然它只是前一半在 OY 上的反射或鏡像。假定在每一種情形拉開的過程都無限地進(jìn)行下去 ———“直至無窮”?，F(xiàn)在想象曳物線繞直線 XOX' 旋轉(zhuǎn)。雙喇叭曲面就生成了；它有常數(shù)負(fù)曲率，被稱為偽球面。如果我們?cè)谶@個(gè)曲面上，用測地線畫出兩條邊相等、有兩個(gè)直角的四邊形，我們發(fā)現(xiàn)銳角假設(shè)是成立的。

這樣，直角、鈍角和銳角的假設(shè)分別對(duì)歐幾里得平面、球面和偽球面是成立的，而且在所有的情形下“直線”都是測地線或極值。歐幾里得幾何是球面幾何的極端情況，當(dāng)球的半徑為無窮大時(shí)，就得到了歐幾里得幾何。

歐幾里得沒有構(gòu)造一個(gè)適合地球的幾何，他基于地球是扁平的假定。人們用了 2000 多年的時(shí)間，直到羅巴切夫斯基出現(xiàn)。

用愛因斯坦的話說，羅巴切夫斯基是在向一個(gè)公理挑戰(zhàn)。任何人向一個(gè) 2000 多年以來為大多數(shù)人視為不容否定的真理挑戰(zhàn)，如果不是拿他的生命冒險(xiǎn)，也是拿他的科學(xué)聲譽(yù)冒險(xiǎn)。

愛因斯坦本人向兩個(gè)事件可以在同一時(shí)間發(fā)生在不同地點(diǎn)這一公理提出挑戰(zhàn)，通過分析這個(gè)古老的假定，導(dǎo)致了狹義相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)。

羅巴切夫斯基向之挑戰(zhàn)的公理是：對(duì)一個(gè)相容的幾何而言，歐幾里得的平行公設(shè)，或與之等價(jià)的直角假設(shè)乃是必要的。他用創(chuàng)造一個(gè)建立在銳角假設(shè)基礎(chǔ)上的幾何系統(tǒng)，來支持他的挑戰(zhàn)，在這個(gè)幾何系統(tǒng)中，通過一個(gè)定點(diǎn)與給定直線平行的直線不是一條，而是兩條。羅巴切夫斯基的兩條平行線都不跟它們與之平行的直線相交，通過該定點(diǎn)且落在這兩條平行線形成的角度之內(nèi)的任何直線，也都不與之相交。這個(gè)顯然很奇怪的情形，是由偽球面上的測地線“實(shí)現(xiàn)”的。

對(duì)于任何日常的目的（測量距離等）而言，歐幾里得幾何同羅巴切夫斯基幾何之間的差異小得不值一提，但這不是要點(diǎn)之所在：兩種幾何都是自洽的，都符合人類的經(jīng)驗(yàn)。羅巴切夫斯基拋棄了歐幾里得幾何的不容否定的 "真理"。他的幾何只是由他的后繼者們構(gòu)造出來的幾種幾何中的第一個(gè)。這些替代歐幾里得的幾何中，有一些 —— 例如廣義相對(duì)論的黎曼幾何 —— 今天在物理科學(xué)的仍然活躍和發(fā)展著的部分中，至少像歐幾里得幾何過去和現(xiàn)在在相對(duì)靜止的和經(jīng)典的部分中那樣重要。對(duì)于一些目的，歐幾里得幾何是最好的，至少是夠用的，而對(duì)另外一些目的，它就不適用了，于是就需要非歐幾何了。

2200 年以來，人們?cè)谀撤N意義上相信，歐幾里得在他的幾何體系中發(fā)現(xiàn)了人類知覺的一個(gè)絕對(duì)真理或必然模式。羅巴切夫斯基的創(chuàng)造實(shí)際上證明了這種看法的錯(cuò)誤。他的大膽挑戰(zhàn)，以及挑戰(zhàn)的結(jié)果，鼓舞著廣大數(shù)學(xué)家和科學(xué)家向其他的“公理”發(fā)出挑戰(zhàn)，例如對(duì)因果律挑戰(zhàn)。

也許我們還沒有體會(huì)到羅巴切夫斯基向公理挑戰(zhàn)的方法的全部影響。稱羅巴切夫斯基為幾何學(xué)中的哥白尼并不是夸大其詞。

本文來自微信公眾號(hào)：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的罗巴切夫斯基几何 —— 数学史上最伟大的杰作（之一），人类思想的里程碑的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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