定義：

如果一張無(wú)向圖的N個(gè)節(jié)點(diǎn)（N>=2）可以分成A B兩個(gè)非空子集，其中A∩B=?，并且在同一集合內(nèi)的點(diǎn)之間沒有相連的邊，則稱這張無(wú)向圖為二分圖。A，B分別成為這個(gè)圖的左部和右部。

定理：

一張無(wú)向圖是二分圖，當(dāng)且僅當(dāng)圖中不存在奇環(huán)（長(zhǎng)度為奇數(shù)的環(huán)）。

證明：

下面用反證法來(lái)證明。
假設(shè)X中的頂點(diǎn)x1與x2是鄰接的，那UX1，X1X2，X2U就構(gòu)成了一個(gè)環(huán)，這個(gè)環(huán)的長(zhǎng)度為奇數(shù)；這與H不具有奇環(huán)相矛盾。因此，X中不存在相鄰接的頂點(diǎn)。同樣可以證明Y中也不存在相鄰接的頂點(diǎn)。這樣，我們就構(gòu)造出非瑣碎組件H的兩個(gè)集合X與Y，X與Y是不相交的，X中任意兩個(gè)頂點(diǎn)都不是鄰接的；同樣Y中任意兩個(gè)頂點(diǎn)也都不是鄰接的。因此H是二分的。同樣可以證明所有其它的G的組件都是二分的。因此也就證明了不具有奇環(huán)的圖是二分圖。

匹配：

我們將這種兩兩不含公共端點(diǎn)的邊合集M成為成為匹配，而元素最多的邊集M則稱為二分圖的最大匹配。當(dāng)二分圖的匹配書等于2倍節(jié)點(diǎn)數(shù)的時(shí)候，這個(gè)匹配就稱為原二分圖的完美匹配（完備匹配）

最大匹配：

匈牙利算法（增廣路算法）：稍微給你們提一句：

//二分圖最大匹配數(shù)量 #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<queue> #include<vector> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; const int N=505; int line[N][N]; int girl[N],used[N]; int k,m,n; bool found(int x) {for(int i=1; i<=n; i++){if(line[x][i]&&!used[i]){used[i]=1;if(girl[i]==0||found(girl[i])){girl[i]=x;return 1;}}}return 0; } int main() {int x,y;while(scanf("%d",&k)&&k){scanf("%d %d",&m,&n);memset(line,0,sizeof(line));memset(girl,0,sizeof(girl));for(int i=0; i<k; i++){scanf("%d %d",&x,&y);line[x][y]=1;}int sum=0;for(int i=1; i<=m; i++){memset(used,0,sizeof(used));if(found(i)) sum++;}printf("%d\n",sum);}return 0; }

?二分圖的最佳完美匹配：

二分圖的最佳完美匹配就是在完備匹配的基礎(chǔ)上，每條匹配邊都有他的權(quán)值，要使權(quán)值最大化，最大化權(quán)值的完備匹配。
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#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio>using namespace std; const int MAXN = 305; const int INF = 0x3f3f3f3f;int love[MAXN][MAXN]; // 記錄每個(gè)妹子和每個(gè)男生的好感度 int ex_girl[MAXN]; // 每個(gè)妹子的期望值 int ex_boy[MAXN]; // 每個(gè)男生的期望值 bool vis_girl[MAXN]; // 記錄每一輪匹配匹配過的女生 bool vis_boy[MAXN]; // 記錄每一輪匹配匹配過的男生 int match[MAXN]; // 記錄每個(gè)男生匹配到的妹子 如果沒有則為-1 int slack[MAXN]; // 記錄每個(gè)漢子如果能被妹子傾心最少還需要多少期望值int N;bool dfs(int girl) {vis_girl[girl] = true;for (int boy = 0; boy < N; ++boy) {if (vis_boy[boy]) continue; // 每一輪匹配 每個(gè)男生只嘗試一次int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];if (gap == 0) { // 如果符合要求vis_boy[boy] = true;if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) { // 找到一個(gè)沒有匹配的男生 或者該男生的妹子可以找到其他人match[boy] = girl;return true;}} else {slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解為該男生要得到女生的傾心 還需多少期望值 取最小值 備胎的樣子【捂臉}}return false; }int KM() {memset(match, -1, sizeof match); // 初始每個(gè)男生都沒有匹配的女生memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy); // 初始每個(gè)男生的期望值為0// 每個(gè)女生的初始期望值是與她相連的男生最大的好感度f(wàn)or (int i = 0; i < N; ++i) {ex_girl[i] = love[i][0];for (int j = 1; j < N; ++j) {ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);}}// 嘗試為每一個(gè)女生解決歸宿問題for (int i = 0; i < N; ++i) {fill(slack, slack + N, INF); // 因?yàn)橐∽钚≈?初始化為無(wú)窮大while (1) {// 為每個(gè)女生解決歸宿問題的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到為止// 記錄每輪匹配中男生女生是否被嘗試匹配過memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);if (dfs(i)) break; // 找到歸宿 退出// 如果不能找到 就降低期望值// 最小可降低的期望值int d = INF;for (int j = 0; j < N; ++j)if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]);for (int j = 0; j < N; ++j) {// 所有訪問過的女生降低期望值if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d;// 所有訪問過的男生增加期望值if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d;// 沒有訪問過的boy 因?yàn)間irl們的期望值降低，距離得到女生傾心又進(jìn)了一步！else slack[j] -= d;}}}// 匹配完成 求出所有配對(duì)的好感度的和int res = 0;for (int i = 0; i < N; ++i)res += love[ match[i] ][i];return res; }int main() {while (~scanf("%d", &N)) {for (int i = 0; i < N; ++i)for (int j = 0; j < N; ++j)scanf("%d", &love[i][j]);printf("%d\n", KM());}return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图论--二分图--二分图的定义及其判断定的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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