計算機圖形學 二維變換及二維

第三章 二維變換及二維觀察 本章主要內容 3.1二維圖形的基本變換 3.2窗口視圖變換 3.3復合變換 3.4二維圖形裁剪 3.5本章小結 3.1 二維圖形的基本變換 3.1.1 數學基礎回顧 矢量 一條有向線段，具有大小和方向兩個參數 最廣義指線性空間中的元素,代表N維空間的一個點 矢量 矢量和 矢量數乘 矢量點積 性質 矩陣 矩陣：由m×n個數按一定位置排列的一個整體，簡稱m×n矩陣。 A= 加法 A+B= 乘法：設A為2×3階矩陣，B為3×2階矩陣 C=A×B= 矩陣運算性質 交換律和結合律：A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C 數乘分配律和結合律：a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) ·B=A ·(aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 矩陣乘法的結合律及分配律 A(B ·C) = (A ·B)C (A+B) · C = A · C+ B · C C ·(A+B) = C ·A + C · B 3.1.2 二維圖形基本變換 基本概念 圖形變換：對圖形的幾何信息經過幾何變換產生新的圖形 二維變換方法： 二維圖形是由點組成，對點進行變換 變換矩陣的確定 運算，得到新點坐標 P’=R×P 五種基本變換：平移變換、旋轉變換、比例變換、對稱變換、錯切變換 平移變換 平移變換 從原始位置P(x,y)平移到新位置P’(x’,y’)有 用矩陣的形式表示為 即 平移變換矩陣 旋轉變換 旋轉變換 P(x,y)繞原點逆時針旋轉得到新點P’(x’,y’) 矩陣表示形式 即 旋轉變換矩陣 比例變換 比例變換 從原始位置P(x,y)平移到新位置P’(x’,y’)有 矩陣形式 即 比例變換矩陣 對稱變換 反射變換(鏡像變換)：一個圖形繞某一軸旋轉180度形成新圖形的過程。原始位置P(x,y)關于對稱軸對稱得到新位置P’(x’,y’) 矩陣形式為 對稱變換矩陣 Tm 錯切變換 保持圖形上各點的某一坐標值不變，而另一坐標值關于該坐標成線性變化。 坐標保持不變的坐標軸為依賴軸，其余稱為方向軸。 以Y軸為依賴軸(沿X軸錯切) 坐標變換 矩陣形式 即 錯切變換矩陣(C>0沿正方向錯切，C<0沿負方向錯切) 以X軸為依賴軸(沿Y軸錯切) 坐標變換 矩陣形式 即 錯切矩陣(b>0沿正方向錯切，b<0沿負方向錯切) 討論 二維變換的矩陣表達 能否找到一種統一的形式？ 找到一個通用的算子代表所有變換? 齊次坐標 變換矩陣的統一表示 表示無窮遠的點 定義：用n+1維向量表示n維向量 二維點(x,y)的齊次坐標表示是(hx,hy,h),如(8，4，2)(4，2，1)都表示同一個坐標(4，1) h=1為規范化齊次坐標 二維變換的齊次坐標表達 通常取(x,y,1)表示二維平面未變換點P(x,y)的齊次坐標 基本幾何變換矩陣變為3×3的矩陣 新點用齊次坐標表示[X,Y,H] 新點的二維坐標P’(x’,y’)表示為 齊次坐標表示 四個子矩陣的作用 本課小結 五種基本二維圖形變換 圖形變換的矩陣表示 為什么引入齊次坐標？ 圖形變換的齊次坐標表示 五種變換矩陣及四個子矩陣 3.2 窗口到視區的變換 基本概念 用戶域和窗口區 1 ．用戶域：程序員用來定義草圖的整個自然空間(WD) a????? 人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。 b????? 用戶域是一個實數域，理論上是連續無限的。 2．? 窗口區：用戶指定的任一區域(W) a 窗口區W小于或等于用戶域WD b 小于用戶域的窗口區W叫做用戶域的子域。 c 窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第I+1層窗口等等。 基本概念 二維圖形的顯示流程圖 坐標變換 設窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT 視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT 則用戶坐標系下的點(即窗口內的一點)(Xw,Yw)對應屏幕視圖區中的點(Xs,Ys)，其變換公式為 坐標變換 簡化為： 1) 當a?c時，即x 方向的變化與y方向的變化不同時，視圖中的圖形會有伸

總結

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