0. 補充知識

0.1 貝塔函數 B ( P , Q ) \Beta(P, Q) B(P,Q)

貝塔函數也稱為歐拉第一積分，定義為：
B ( P , Q ) = ∫ 0 1 x P ? 1 ( 1 ? x ) Q ? 1 d x ( P > 0 , Q > 0 ) \begin{aligned} \Beta(P,Q) = \int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx \quad (P>0,Q>0) \end{aligned} B(P,Q)=∫01?xP?1(1?x)Q?1dx(P>0,Q>0)?
若將貝塔函數變為不定積分，則有不完全貝塔函數 B x ( P , Q ) \Beta_x(P,Q) Bx?(P,Q)
B x ( P , Q ) = ∫ 0 x u P ? 1 ( 1 ? u ) Q ? 1 d u ( 0 ≤ x ≤ 1 , P > 0 , Q > 0 ) \begin{aligned} \Beta_x(P,Q) = \int_0^xu^{P-1}(1-u)^{Q-1}du \quad (0\le x \le 1,P>0,Q>0) \end{aligned} Bx?(P,Q)=∫0x?uP?1(1?u)Q?1du(0≤x≤1,P>0,Q>0)?

0.2 伽馬函數 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x)

伽馬函數也稱為歐拉第二積分，定義為：
Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ t x ? 1 e ? t d t ( x > 0 ) = 2 ∫ 0 + ∞ t 2 x ? 1 e ? t 2 d t \begin{aligned} \Gamma(x) &= \int_0^{+\infin}t^{x-1}e^{-t}dt \quad (x>0)\\ &= 2\int_0^{+\infin} t^{2x-1}e^{-t^2}dt \end{aligned} Γ(x)?=∫0+∞?tx?1e?tdt(x>0)=2∫0+∞?t2x?1e?t2dt?
伽馬函數的一些性質：

• Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x)
• Γ ( n ) = ( n ? 1 ) ! \Gamma(n) = (n-1)! Γ(n)=(n?1)!
• Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(21?)=π
  ?
• 與 β \beta β函數的關系： B ( m , n ) = Γ ( m ) Γ ( n ) Γ ( m + n ) \Beta(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} B(m,n)=Γ(m+n)Γ(m)Γ(n)?

1. 貝塔分布 (Beta Distribution)

貝塔分布，也稱為 B \Beta B分布，定義在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)區間上，有兩個參數 α , β > 0 \alpha,\beta \gt 0 α,β>0,隨機變量服從貝塔分布一般寫作 X ～ Be ( α , β ) X\sim \text{Be}(\alpha,\beta) X～Be(α,β)

1.1 概率密度函數PDF

f ( x ; α , β ) = x α ? 1 ( 1 ? x ) β ? 1 ∫ 0 1 u α ? 1 ( 1 ? u ) β ? 1 d u = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α ? 1 ( 1 ? x ) β ? 1 = 1 B ( α , β ) x α ? 1 ( 1 ? x ) β ? 1 \begin{aligned} f(x;\alpha,\beta) &= \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du}\\ &= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\\ &=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \end{aligned} f(x;α,β)?=∫01?uα?1(1?u)β?1duxα?1(1?x)β?1?=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)?xα?1(1?x)β?1=B(α,β)1?xα?1(1?x)β?1?

1.2 累積分布函數CDF

F ( x ; α , β ) = B x ( α , β ) B ( α , β ) \begin{aligned} F(x;\alpha,\beta) = \frac{\Beta_x(\alpha,\beta)}{\Beta(\alpha,\beta)} \end{aligned} F(x;α,β)=B(α,β)Bx?(α,β)??
其中， B x ( α , β ) \Beta_x(\alpha,\beta) Bx?(α,β)為不完全貝塔函數，定義為：

1.3 數字特征

1. 期望： μ = E ( X ) = α α + β \mu=E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} μ=E(X)=α+βα?
2. 方差： V a r ( X ) = E ( ( X ? μ ) 2 ) = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) Var(X)=E((X-\mu)^2)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} Var(X)=E((X?μ)2)=(α+β)2(α+β+1)αβ?

2. 狄利克雷分布 (Dirichlet Distribution)

狄利克雷分布是貝塔分布的多元推廣，對于 d d d維的狄利克雷分布，共有 d d d個參數。
狄利克雷分布是關于一組 d d d個連續變量 μ i ∈ [ 0 , 1 ] \mu_i\in[0,1] μi?∈[0,1]的概率分布；或者說是一個 d d d維向量的概率分布，其中向量元素 μ i ∈ [ 0 , 1 ] \mu_i\in[0,1] μi?∈[0,1]，且有 ∑ i = 1 d μ i = 1 \sum_{i=1}^d\mu_i=1 ∑i=1d?μi?=1。

2.1 概率密度函數PDF

• 記 μ = ( μ 1 ; μ 2 ; ? ? ; μ d ) \boldsymbol{\mu} = (\mu_1;\mu_2;\cdots;\mu_d) μ=(μ1?;μ2?;?;μd?)。
• 令參數 α = ( α 1 ; α 2 ; ? ? ; α d ) \boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1;\alpha_2;\cdots;\alpha_d) α=(α1?;α2?;?;αd?)， α ^ = ∑ i = 1 d α i \hat{\alpha} = \sum_{i=1}^d\alpha_i α^=∑i=1d?αi?，且有 α i > 0 \alpha_i > 0 αi?>0

狄利克雷分布定義為：
p ( μ 1 , μ 2 , … , μ d ∣ α 1 , α 2 , … , α d ) = p ( μ ∣ α ) = Dir ( μ ∣ α ) = Γ ( α ^ ) Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) ? Γ ( α d ) ∏ i = 1 d μ i α i ? 1 = Γ ( α ^ ) ∏ i = 1 d Γ ( α i ) ∏ i = 1 d μ i α i ? 1 \begin{aligned} p(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_d|\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_d) &= p(\boldsymbol{\mu}|\boldsymbol{\alpha}) = \text{Dir}(\boldsymbol{\mu}|\boldsymbol{\alpha})\\ &= \frac{\Gamma(\hat{\alpha})}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)\cdots\Gamma(\alpha_d)}\prod_{i=1}^d\mu_i^{\alpha_i-1}\\ &= \frac{\Gamma(\hat{\alpha})}{\prod_{i=1}^d\Gamma(\alpha_i)}\prod_{i=1}^d\mu_i^{\alpha_i-1} \end{aligned} p(μ1?,μ2?,…,μd?∣α1?,α2?,…,αd?)?=p(μ∣α)=Dir(μ∣α)=Γ(α1?)Γ(α2?)?Γ(αd?)Γ(α^)?i=1∏d?μiαi??1?=∏i=1d?Γ(αi?)Γ(α^)?i=1∏d?μiαi??1??
顯然，當 d = 2 d=2 d=2時，狄利克雷分布退化為貝塔分布。

2.2 數字特征

1. 期望： E [ μ i ] = α i α ^ \mathbb{E}[\mu_i] = \frac{\alpha_i}{\hat{\alpha}} E[μi?]=α^αi??
2. 方差： V a r [ μ i ] = α i ( α ^ ? α i ) α ^ ( α ^ + 1 ) Var[\mu_i] = \frac{\alpha_i(\hat{\alpha}-\alpha_i)}{\hat{\alpha}(\hat{\alpha}+1)} Var[μi?]=α^(α^+1)αi?(α^?αi?)?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的贝塔分布和三角分布_狄利克雷函数是什么的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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