Date: 2_21
Name: Guo Yehao
Theme: Sensitivity Analysis and Shadow Price in Optimality with multiple variables
Reference: 數學建模方法與分析(華章)

? 承接之前的多變量最優化問題中，用拉格朗日乘子的方法討論有約束條件的最優化問題，我們討論這種范式下的靈敏性分析，分為彈性價格系數和約束條件的分析。

首先是分析彈性價格系數，和無約束條件下的最優化問題相比，仍然是分析三個量：兩個決策變量和目標值。我們有兩條線索去討論：

• 第一種顯得機械和普遍。考察約束條件在這種情況下的所起的作用，雖然它增加了我們之前的討論的難度，但是不要被迷惑，它所起的真正作用就是帶來求解過程和解的形式的改變。將價格彈性系數用參數的形式代替，依然用常規的拉格朗日乘子方法求解即可，我們可以表示出兩個決策變量，接著賦值表示出目標值，用計算機代數系統做形式計算，表示出靈敏度系數，在給定點(我們在主體部分求解出的點)求出靈敏性系數的數值，對靈敏性系數的實際意義稍加解釋。

  再在一個較大范圍分析價格彈性系數的影響，繪制兩個決策變量和目標值關于價格彈性系數的曲線圖。這可能與某些人對于靈敏性分析的"微小改變"認識不同，如果要強扣“帽子”，也許可以叫做穩健性分析吧。如果不談什么形式上的“帽子”，從實際的角度去思考，對這個大范圍問題的討論有實際價值，它能夠給出當價格彈性系數改變時，各個量的全局性改變。

• 第二種方法考慮到了梯度的幾何意義，能夠提供給我們在數學本質上的further insight。區別發生在目標值的討論，我們此處不是通過全部賦值成關于價格彈性系數的一元函數，而是利用復合函數的鏈式法則，寫出鏈式求導的符號表達式之后，利用數學上的原理簡化求解。在無約束條件下，由于駐點的特殊性，很容易說明求導的前兩項為零；在約束條件下，前兩項可以表示成約束曲線(面)的切線和目標函數梯度的點積，由拉格朗日乘子方法，構造的拉格朗日函數在駐點處有目標函數的梯度向量與約束曲線(面)的梯度向量共線，而約束曲線(面)的梯度和切線是垂直的，因此目標函數的的梯度和約束曲線(面)的切線垂直，我們有前兩項整體為零，于是乎目標值對價格彈性系數的導數就是復合函數表示下目標值對價格彈性系數的偏導數，我們由此跳過了冗長的代值求導過程。

我們對約束條件進行靈敏性分析，引出一個新穎的概念——影子價格。對它討論過程中計算簡單得多，不僅是思想簡單，計算過程也十分簡單，然而它對于生產的指導意義卻是of significance的。將約束條件用參數形式代替，按照標準的拉格朗日乘子方法求解決策變量和目標值，接著求解對參數的靈敏度系數。討論目標值對于參數的導數的意義：

• 從數學理論上講，參數改變意味著約束曲線的平移，由于拉格朗日函數的駐點處有目標函數梯度和約束曲線梯度的線性關系，我們可以說約束曲線在參數改變的方向移動時，目標函數移動的速度是約束曲線的λ(拉格朗日乘子)倍；

• 從實際意義的角度講，約束條件的參數值代表著生產能力，目標值代表利潤，因此這個導數意味著每增加一個單位的生產能力，會帶來的利潤額外利潤增加值，稱此為影子價格。然而僅通過影子價格的正負不能做出是否增加生產的決策，事實上，在問題之外還要考慮增加單位生產能力的成本，當影子價格大于此成本時，可以做出增加生產的決策。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数模笔记_多变量最优化的拉格朗日乘子方法中的灵敏性分析和影子价格的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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