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因為題主是從光學角度提問的，下面就從光學角度出發作答，當然實際上無法繞開數學。

球諧函數和振動有關，從某種意義上來說，它和三角函數沒什么區別。因為它們只是在“不同坐標系”下描述“不同方向”的振動。

我們知道，麥克斯韋方程導出的波動方程：

（均勻各向同性介質）是描述許多光學現象的出發點。直接假定場在時間上是簡諧振動的 （單色光分析），立刻就有，其中：

當然這個方程可以描述很多種現象，如果把E理解為溫度T，并取：

這就是穩態熱擴散方程；如果把理解為特征值，這就是單自由粒子的定態薛定諤方程。所以這個方程的解，及其表現出的一系列振動特征，在許多領域都是普適的。

我們通常會在3種坐標系下求解這個方程，也就是矩坐標、柱坐標、球坐標。

球坐標系：

球坐標和直角坐的互換：

具體應用，在光學中，比如矩形腔、矩形波導，圓柱腔、圓柱波導，球型腔。熱學中，可以有方塊、圓柱、球的熱擴散問題。量子力學里可以有方勢阱、柱狀阱、有心力場（氫原子）中的粒子運動問題。

每種坐標系都有3個方向，矩坐標系x、y、z，柱坐標系，球坐標系 。上述方程在每種坐標系的每個方向上都會形成特定的振蕩形態（有時會出現衰減或放大形態）。球諧函數描述的就是球坐標系中在方向的振蕩形態。這件事通過分離變量法可以看得很清楚。

方程的具體求解都是通過分離變量進行的，具體是：

矩坐標：
柱坐標 ：
球坐標 ：

具體求解過程教科書上都有，這里不再贅述，只看結果。注意，分離變量后的每一個子函數都描述了一個特定方向的形態。

矩坐標系的處理在數學上是最容易的，我們知道三個方向都有相似的振蕩模式，由三角函數描述，比如、，一般寫為。如果是實數，就是一個振蕩；如果是虛數，就是一個指數衰減（或放大）。

在柱坐標系中，和矩坐標系沒什么區別，也是的形式。的解是貝塞爾函數，注意，貝塞爾函數和描述的就是徑向振蕩形態，和描述的是徑向放大或衰減形態。這和有相似的意義。具有形式的解，也是一個振蕩（由于向通常要求周期性，故沒有非振蕩解），只是角向振蕩。

在球坐標系中，的解是球貝塞爾函數，意義和柱坐標系下類似。仍舊具有形式的解（同樣有周期性要求）。描述了方向的振蕩，只不過具體數學形式比較復雜（涉及勒讓德函數）。“球諧函數”就是。

球坐標系：，3D圖：

2D密度圖：

最后，上面出現的各種函數都有各自的正交完備性，類似于三角函數的正交完備性。所以可以用來展開其他函數，正如傅里葉變換。

轉載于:https://my.oschina.net/wangsifangyuan/blog/1788601

總結

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