今天講一個短平快的問題。

很多人對機械波的能量感到困惑，為什么處于平衡位置的媒質的質元的彈性勢能反而是最大的？為什么質元的動能與勢能同步變化？

當然，你可能會根據一些特例來幫助理解這些問題。例如，抖動一根水平繩產生橫波時，你注意到那些位于平衡的位置，因為兩邊受到的拉力指向相反方向，所以形變是最厲害的；而處在最高或最低點的那些位置，兩邊受到的力指向同一方向，雖然具有最大的加速度，但本身的形變卻為零。所以勢能最大的位置應該在平衡位置。

如果用力抖動一根軟彈簧形成橫波，那么會看到平衡位置處，彈簧形變最明顯，而最低和最高點幾乎還是原樣，如下圖所示。

至于動能，你也容易想到一個屢試不爽的規律：平衡位置的加速度為零，速度必然最大，所以動能就是最大。

如此一來，動能和勢能同步達到最大，當然也會同步達到最小，所以它們同步變化的規律就坐實了。

但若要較真，機械波的能量的規律到底該怎么得到呢？那你還得用一點數學。下面較詳細的給出一個推理分析的過程。

考慮一根長為的彈簧被拉伸了，它的彈性勢能是多少？

學過高中物理的你，當然知道是下面這樣的

其中為倔強系數。如果彈簧的材料和粗細確定，更長的彈簧，倔強系數更小，這個應該很好理解，彈簧越長，拉起來當然就沒那么費力了。按此規律，可將倔強系數寫成其中是一個常數，取決于彈簧的粗細和材料性質。

那么上面的勢能可以寫成這里故意拼湊了一個新變量 ——，即相對伸長量。由于是常量，所以，對某個彈簧（材料、粗細和原長確定），其儲存的勢能由它的相對伸長量決定。

如果彈簧是被壓縮的，只不過，能量表達式也是一樣的。

總之，彈簧的相對形變量決定它的勢能！

那么，對一段長為的媒質，它所儲存的勢能也是類似的：取決于它的相對形變量。

你可能認為，這段媒質的中心的偏移量會產生勢能，這其實是一種錯覺。媒質中各點的絕對偏移量并不一定會形成彈性勢能！

想象你手里拿著的一把尺子，假設它現在整體移動一段距離，很顯然，整個尺子的重力勢能的確變了，但始終沒有形變，所以也沒有彈性勢能！但顯然，尺子上各點不是發生了偏移嗎？！

所以，從根本上說，只有當內部各點的位移不同，導致各點之間發生相對位移，也就是物質產生了形變時，才會形成彈性勢能。

很顯然，機械波的媒質就是最好的代表的呀！

對機械波來說，波函數的變量是描述媒質中點的偏移量的。它是位置和時間的函數，換句話說，同時刻不同點的偏移量不一致呀！所以自然會導致各點之間發生相對位移，也就是波的媒質發生形變，這就能導致彈性勢能啦！

那么，媒質中的勢能隨位置變化的規律是怎樣的呢？

考慮某個確定的時刻，波表現為一條曲線 —— 波形曲線。

它描繪媒質中各點偏移量隨坐標的變化情況，用函數表示為

當位置產生的增量時，偏移量也產生一個增量。

現在分析媒質中一段原長為的質元。

形變前，它的兩端坐標分別是和。

形變后，兩端點的縱向偏移量分別是和。左端坐標變為+，而右端坐標變為+++。

因此，形變后的媒質的長度是+，絕對伸長量為，故相對原長的相對形變 —— 相對伸長量為

按照前面講的相對伸長量決定勢能的規律，這段原長為的質元現儲存的勢能為

如果將右側的移到左邊相除，則得到的是該段介質內的平均勢能密度，故仿照平均速度到瞬時速度的過渡方式 —— 將時間得到任意時刻的速度，現在考慮無限小的一段介質，上式中的，無窮小量變成微分量，用代替，則得介質中任意點的勢能密度為

看到了吧！兩個微分相除導致微商，這樣就得到導數了。

實際上，考慮任意時刻的情形，是和的函數，故應用偏導符號代替重寫為這下好了！誰的導數？偏移量對質元坐標的偏導數，也就是質元的偏移量對坐標的變化率！這不就是波形曲線上某一點切線的斜率嗎？

所以，媒質中質元的勢能取決于波形曲線上的切線的斜率，斜率絕對值越大，勢能越大，絕對值越小，勢能就越小。

很顯然，波形曲線上，平衡位置處的斜率絕對值最大啊！所以這個位置的勢能最大！什么地方斜率為零？當然就是波峰和波谷處，所以這些位置的勢能為零！

實際上，根據正弦和余弦之間互為導數的關系，更一般的規律可從上圖看出。

上面的推導是按照縱波來進行的，如果是橫波，物質會發生橫向形變，計算稍微復雜一點，但最終的規律是一致的。

下面再進一步來看機械波能量的表達式。

首先是勢能部分。

由上面的分析可知，要得到勢能的確切的表達式，就要確定式中的的值，它反映這段媒質的倔強系數除了長度之外的其它影響。那么，這些所謂“其它影響”有哪些呢？

材料的彈性？對！確切的叫彈性模量。還有呢？這段媒質的粗細？肯定越粗越難對付吧？沒錯！

彈性模量這個東西，是針對固體來說的，對液體來說，也有相應的那個量。總之，就是物體本身的彈性性質。

假設彈性模量用表示，媒質的粗細，也就是它的底面積用表示，則得據此，上面的勢能可表示為這其中，正好就是媒質的體積；而一般來說，彈性模量與波速的關系為其中是密度，根據，上面的勢能可寫成如果考察一個段媒質的微元，則上式為將波函數對的偏導代入，即得勢能的表達式為再看動能部分。

這段介質在振動，所以具有動能。動能很簡單，直接按動能的表達式，即

其中是媒質的振動速度 —— 注意，媒質并沒有隨著波運動！所以這里的不是波速，而是媒質偏移的速度 —— 振動速度，按照速度的定義就是得到動能為

這才發現，質元的動能和勢能隨位置和時間的變化規律竟然完全一樣，用更物理的語言說，它倆是同幅同相變化的，對確定點，二者的值每時刻都完全一致！

機械波的能量是動能與勢能之和，那么自然的，質元的機械能為即可化為這下徹底看清楚了，能量與坐標和時間相關的部分具有簡諧波的標準形式。因此，機械波的能量本身也形成一個簡諧波，它的頻率是波的頻率的兩倍。對簡諧波來說，能量的傳播速度就是波本身的速度，即相速度。

既然簡諧波的能量隨時間周期變化，說明簡諧波的媒質的質元的能量并不守恒，這一點與簡諧振動不同。很多人覺得這一點違反直覺。他們認為：簡諧波的媒質的質元不都在做簡諧振動嗎？既然如此，質元的能量應該是守恒的呀！？

問題的癥結在于，簡諧波的質元并不是做簡諧振動，因為相鄰的質元之間有力的作用，所以質元做的是受迫振動而非簡諧振動。

當波前剛抵達某個質元時，它還處于平衡位置，此時質元的能量是最大的。在一個波峰或波谷抵達某質元的過程中，它的能量沿波的傳播方向流出 —— 因為它需要策動它的鄰居跟著一起動起來；當波峰或波谷到達質元后，它又重新開始吸收來自波源方向傳入的能量，再次回到平衡位置。如此反復，能量沿著波線方向不斷向前傳播。

本文來自微信公眾號：大學物理學 （ID：wuliboke），作者：薛德堡

總結

以上是生活随笔為你收集整理的以弹簧为基础理解机械波的能量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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