話說(shuō)寶刀君這幾年給學(xué)弟學(xué)妹們輔導(dǎo)自控時(shí)，學(xué)弟學(xué)妹們面對(duì)根軌跡，經(jīng)常是一臉懵逼。

常常是拿到題后，零極點(diǎn)都標(biāo)出來(lái)了，法則也寫出來(lái)了，但就是根軌跡畫不出來(lái)。

有時(shí)好不容易畫出來(lái)了，返回去和法則一對(duì)照，忍不住仰天長(zhǎng)嘆：

我靠，怎么對(duì)應(yīng)不上呀？

藍(lán)瘦，香菇！

其實(shí)上面描述的情形，大部分學(xué)生都存在，而且還不在少數(shù).......

為了拯救學(xué)弟學(xué)妹們，為了更好地傳播大師前輩們?cè)诟壽E上做出的努力，寶刀君就繼續(xù)拾人牙慧，寫點(diǎn)我的理解，今天給大家奉獻(xiàn)純干貨筆記---深入講解根軌跡的繪制法則！

大家可以對(duì)照著看，測(cè)測(cè)你理解到什么程度。

哦，對(duì)了，我使用的教材是盧京潮老師主編，西北工業(yè)大學(xué)出版社的《自動(dòng)控制原理》（第2版），身為西工大的求學(xué)一份子，替盧老師宣傳下他的書，主要是確實(shí)質(zhì)量好啊！

好了，言歸正傳，先送上寶刀君的筆記美圖：

還是熟悉的話語(yǔ)，熟悉的字樣，熟悉的公式，可我就是不知道他在說(shuō)什么，嗚嗚嗚......

上面呢，就是寶刀君手抄的筆記，里面附帶了一些疑問(wèn)，個(gè)人覺(jué)得這些疑問(wèn)就是你在學(xué)習(xí)時(shí)就應(yīng)該仔細(xì)思考的，只要你復(fù)習(xí)時(shí)把這些疑問(wèn)都搞懂了，那根軌跡學(xué)的不會(huì)太差。

今天我們就從第一條法則開始，逐句解讀這八大法則，包你看完心情爽歪歪！

先看第1條：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

這條呢，其實(shí)是告訴你根軌跡從哪來(lái)，到哪里去？

每一條根軌跡從極點(diǎn)出發(fā)，然后終止于零點(diǎn)或者終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處，然后呢，終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處的根軌跡條數(shù)也給你說(shuō)了，是n-m條。

說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn)，就是起源有1處，去向有2處~

再看第2條：根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性、連續(xù)性

這個(gè)法則呢，是說(shuō)你畫的根軌跡有幾條，條數(shù)等于n或者m，誰(shuí)大取誰(shuí)。然后你畫的根軌跡是對(duì)稱于實(shí)軸的，根軌跡線肯定是連續(xù)的，不能畫成斷點(diǎn)的形式。

第3條：實(shí)軸上的根軌跡 （這條真重要！）

仔細(xì)看筆記上對(duì)這條的官方定義，什么叫“若其右邊”？

后邊的那幾個(gè)問(wèn)題你能回答上來(lái)幾個(gè)？

要想明白這個(gè)問(wèn)題，得先明白這個(gè)實(shí)軸的區(qū)域是怎么劃分的。

設(shè)想一下，給你一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型開環(huán)傳遞函數(shù)，就是首1型的傳遞函數(shù)形式，那你就可以立馬確定出他的零極點(diǎn)，然后在復(fù)域平面上標(biāo)出來(lái)，落在實(shí)軸上的零極點(diǎn)，剛好將實(shí)軸從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮分成了若干個(gè)小區(qū)間，那么現(xiàn)在的問(wèn)題是：實(shí)軸上的這些小區(qū)間，哪些是根軌跡經(jīng)過(guò)的？

法則給出了答案，即對(duì)于繪制180度的根軌跡來(lái)說(shuō)，只要這個(gè)區(qū)間的右邊零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，那么這段區(qū)間就是根軌跡。

到這里，又有問(wèn)題了。

因?yàn)槲覀冎烂恳粋€(gè)區(qū)間都有左右端點(diǎn)，這里的“若其右邊”，數(shù)數(shù)時(shí)，包不包含這個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)呢？

答案是：包含！

舉個(gè)栗子，諾，你看筆記里寫的那個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)，它沒(méi)有零點(diǎn)，只有三個(gè)極點(diǎn)，分別是p1=0,p2=-1,p3=-5。

這三個(gè)極點(diǎn)將實(shí)軸分成了（負(fù)無(wú)窮，-5]，(-5,-1]，(-1,0]，(0,正無(wú)窮）這4個(gè)區(qū)間。

現(xiàn)在你給我從左至右，挨個(gè)判斷這4個(gè)區(qū)間哪個(gè)是根軌跡！

好，先從第一個(gè)開始，在第一個(gè)區(qū)間（負(fù)無(wú)窮，-5]的右邊有3個(gè)極點(diǎn)，分別是-5，-1，0。剛好是奇數(shù)，按照法則，這個(gè)區(qū)間（負(fù)無(wú)窮，-5]是根軌跡。

緊接著判斷第二個(gè)區(qū)間(-5,-1]，他的右邊只有-1和0兩個(gè)極點(diǎn)，偶數(shù)，不滿足，則不是根軌跡。

接著看(-1,0]，右邊有一個(gè)極點(diǎn)0，是奇數(shù)個(gè)，則這個(gè)區(qū)間是根軌跡。

最后是(0,正無(wú)窮）的判斷，右邊為0個(gè)零極點(diǎn)，偶數(shù)個(gè)，則不是根軌跡。

所以，這個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)的實(shí)軸上的根軌跡是（負(fù)無(wú)窮，-5]，[-1,0]。

咳咳，這個(gè)法則有什么用？

這用處大了去了！

你想啊！首先你可以在畫出零極點(diǎn)后，立馬畫出極點(diǎn)的指向，確定出位于實(shí)軸上的根軌跡呀，其次是將來(lái)算完分離點(diǎn)之后，分離點(diǎn)一般是二次方程會(huì)求出兩個(gè)根，這時(shí)候你就可以根據(jù)這條規(guī)則，將那個(gè)不在實(shí)軸上的根軌跡范圍的 根 給我舍去！

（注意了，我可沒(méi)說(shuō)分離點(diǎn)一定不在實(shí)軸上）

哎呀，說(shuō)完這個(gè)，挺累，我喝口水先。

第4條：根軌跡的漸近線

這條呢，記住公式會(huì)寫，需要注意的是： 你的角度求出來(lái)凡是-180到180度內(nèi)的，那這些角度都是漸近線的角度，不能落下。

因?yàn)槭菍?duì)稱于實(shí)軸嘛，所以負(fù)180度到180度的也算。

我為什么強(qiáng)調(diào)這點(diǎn)呢，原因是看見好多學(xué)生做這個(gè)時(shí)，若n-m=4，好多學(xué)生無(wú)緣無(wú)故的將正負(fù)3pai/4給我舍去了！

你有何種理由舍去？？？

第5條：根軌跡的分離點(diǎn)

矮油，這個(gè)規(guī)則也是重要的不得了呀！

前面說(shuō)過(guò)，求出分離點(diǎn)后，利用法則3來(lái)進(jìn)行取舍，那怎樣列方程來(lái)求？舉例如下，看圖：

看上面這個(gè)圖，相信你應(yīng)該法1就會(huì)用了，需要注意的是法1在沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，右邊要寫成0，沒(méi)有零點(diǎn)就寫0嘛，而從我輔導(dǎo)時(shí)實(shí)際測(cè)試學(xué)生來(lái)看，有些學(xué)生不知咋回事給我寫個(gè)1 ！！！

看這篇筆記的學(xué)生注意啦！希望你別犯這個(gè)錯(cuò)誤！

還剩一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解答，方程如何試根？？？

別愁，寶刀君都會(huì)給你講的~

它這個(gè)分離點(diǎn)呢，是兩個(gè)極點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)相遇后又分離產(chǎn)生的。

所以呢，你現(xiàn)在就要找那些靠的很近的極點(diǎn)。

一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)相距很近的極點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生分離點(diǎn)

你現(xiàn)在仔細(xì)看看上圖和對(duì)照課本上所有有分離點(diǎn)的圖，看看是不是這個(gè)規(guī)律！

因此呢，你挺好了，以后你試根的時(shí)候，就先用靠的很近的兩極點(diǎn)的中間值來(lái)試，試完1次后，再延續(xù)二分法的思想，繼續(xù)試。

比如介于-1和0時(shí)，我先試-0.5，再試-0.55，以此類推，最終使結(jié)果越趨近于0越好。

這就是求分離點(diǎn)時(shí)試根法的思想！

順便說(shuō)一句，當(dāng)你求出分離點(diǎn)時(shí)，分離點(diǎn)處那個(gè)根軌跡增益Kd*你也順帶著求出來(lái)，分離點(diǎn)處的根軌跡增益叫做：臨界阻尼根軌跡增益。

這個(gè)往往在寫穩(wěn)定欠阻尼范圍時(shí)會(huì)用到哦！這里我僅僅拋磚引玉，你可以翻書看看之前碰過(guò)這種題型沒(méi)。

第6條：根軌跡與虛軸交點(diǎn)

這個(gè)法則就是筆記上講的，把s一換，分別令實(shí)部虛部等于0就行，雖然也有用勞斯判據(jù)來(lái)求的，但個(gè)人覺(jué)得還是這種代數(shù)方法簡(jiǎn)單好求。

對(duì)了，根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的根軌跡增益K1*有個(gè)名字，叫做：臨界穩(wěn)定根軌跡增益。

如果人家讓你求：給出系統(tǒng)在欠阻尼情況下的開環(huán)增益范圍？有些學(xué)生直接給出 Kd*<K*<K1*。

真是大錯(cuò)特錯(cuò)！！！

看清題了沒(méi)？

明白了嗎？

人家問(wèn)的是開環(huán)增益范圍，所以你還得根據(jù)根軌跡增益和開環(huán)增益的轉(zhuǎn)換公式，換算開環(huán)增益吶~

第7條：根軌跡的起始角和終止角

講真，這個(gè)規(guī)則也不是隨隨便便用的，只有當(dāng)出現(xiàn)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)時(shí)，才會(huì)考慮用此規(guī)則！

很多漂亮的學(xué)妹在使用這個(gè)規(guī)則時(shí)，常常將角度算錯(cuò)，本來(lái)是加的，愣是給弄了個(gè)減，這本質(zhì)是不清楚待求的角度該放在相角條件公式中的哪個(gè)位置。

看定義，它說(shuō)這兩個(gè)角度都是通過(guò)相角條件求的。

那什么是相角條件？

很簡(jiǎn)單，即分子的角度之和減去分母的角度之和=（2K+1）*pai（180度根軌跡）

換句話說(shuō)，就是零點(diǎn)的角度之和減去極點(diǎn)的角度之和。

好！你先記住這個(gè)概念！

起始角指的是從極點(diǎn)出發(fā)的角，終止角指的是終止于零點(diǎn)的角度，那么我們這里可以這樣理解，起始角看成極點(diǎn)角，終止角看成零點(diǎn)角。

那么，接下來(lái)你在列式子時(shí)，只需要將同類型的角度放在一塊就好了。這樣就可以避免求錯(cuò)！

第8條：根之和

開環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)之和。

這個(gè)規(guī)則和第7個(gè)規(guī)則一樣，不適隨隨便便就能用的，都是有條件的，什么條件？

n-m>2時(shí)!

寶刀君在這里叮嚀大家一句話：只要你拿到手的開環(huán)傳遞函數(shù)中分子分母差的階數(shù)太多，那你就要注意啦，很可能要用到根之和法則！！！

建議出現(xiàn)這種情況時(shí)，順手寫在旁邊，以防忘記！

這個(gè)法則有什么用？

答案是求根！

求什么根？

求某增益對(duì)應(yīng)的其他根，一般是對(duì)于一個(gè)3階系統(tǒng)，一對(duì)復(fù)數(shù)根知道后，接下來(lái)第3個(gè)根可以通過(guò)這個(gè)法則求（數(shù)學(xué)上，n階系統(tǒng)對(duì)應(yīng)n個(gè)根，自控里，根就對(duì)應(yīng)的是閉環(huán)極點(diǎn)）。

舉個(gè)栗子，前面第6條法則可以求出此時(shí)與虛軸的交點(diǎn)。假如是個(gè)3階系統(tǒng)，此時(shí)題目中問(wèn)你：求臨界根軌跡增益對(duì)應(yīng)的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)？

好了，此時(shí)若滿足根之和法則的應(yīng)用條件，則可以應(yīng)用此法則快速的求出第三個(gè)根！

為啥是第3個(gè)，因?yàn)槟阋呀?jīng)知道了2個(gè)了呀！那個(gè)與虛軸的交點(diǎn)不就是兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)嘛！

所以公式左側(cè)只有1個(gè)未知數(shù)，而公式右側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)之和你也能一步寫出來(lái)，因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)你也知道呀，理解了這一點(diǎn)，就知道這個(gè)公式咋用了。

寶刀君覺(jué)得好多學(xué)生不會(huì)列式子，其實(shí)是概念不清晰，即還是不太理解根軌跡到底是個(gè)什么東東？

通俗說(shuō)一下，根軌跡就是當(dāng)某一參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程所對(duì)應(yīng)的根 隨參數(shù)變化而變化 形成的軌跡。這就類似于數(shù)學(xué)上y隨著x的變化而變化，描點(diǎn)畫圖形成的線嘛。

根軌跡上每一個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)閉環(huán)特征方程的一個(gè)根，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的某一個(gè)極點(diǎn)，這三個(gè)是 一 一對(duì)應(yīng)的！

奉上繪制根軌跡的法則的一個(gè)匯總表吧，課本上的，看下圖！

以上就是關(guān)于繪制根軌跡的所有法則，我想我應(yīng)該說(shuō)的很明白了，尤其是從第3條往后。

上面所列的法則，1234基本都有，5678看情況用。

當(dāng)你繪制完根軌跡后，你要做的就是用繪出來(lái)的圖檢驗(yàn)它是否滿足寫的每個(gè)規(guī)則，當(dāng)然，除非你規(guī)則都算錯(cuò)、寫錯(cuò)，那就另當(dāng)別論了......

說(shuō)個(gè)敏感的問(wèn)題，考試時(shí)根軌跡如何閱卷？

這個(gè)呀，看情況了，老師很可能先看你圖畫的對(duì)不對(duì)，圖不正確的話，那么規(guī)則肯定是錯(cuò)的，因?yàn)槟愕膱D是根據(jù)規(guī)則畫出來(lái)的，圖都不對(duì)了，看那個(gè)規(guī)則有啥用呀，直接0分......相反，圖對(duì)了，規(guī)則肯定正確，直接滿分......

當(dāng)然，也有一些老師比較仁慈，即使你畫錯(cuò)了，她如果時(shí)間還多，估計(jì)會(huì)看看你前面那幾條，如果有對(duì)的，就 酌情 給點(diǎn)分......

這就是酌情的意思

關(guān)于根軌跡，如果你有其他的理解角度、新穎想法，歡迎文章下方留言，大家一起學(xué)習(xí)交流哦

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注：以上圖片截圖來(lái)自于電影《三傻大鬧寶萊塢》

也許你還想看：

考研院校專業(yè)課選擇及自動(dòng)控制原理備考的宏觀戰(zhàn)略分析（一）

考研院校專業(yè)課選擇及自動(dòng)控制原理備考的宏觀戰(zhàn)略分析（二）

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關(guān)于：考研擺渡人寶刀君（BDJ0501）

工科自動(dòng)化專業(yè)出身，

除了會(huì) 本專業(yè) 自動(dòng)控制原理，

還鉆研了下 考研數(shù)學(xué)

希望我分享的知識(shí)點(diǎn)對(duì)你的學(xué)習(xí)有幫助~

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab求系统根轨迹代码_要想正确画出根轨迹，先搞清楚这8大法则再说！的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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