先證明$a\to b$：
令$n_0=0$;

• 設$k=1$，因為$L$是$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$的極限點，則可以找到某個$n_1>n_0$使得$a_{n_1}$是$1?$接近于$L$的；
• 設$k=2$，因為$L$是$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$的極限點，則可以找到某個$n_2>n_1$使得$a_{n_2}$是$\frac{1}{2}?$接近于$L$的；

依次重復以上步驟我們得到一個序列
$$(a_{n_k}{)}_{k=0}^{\infty }=(a_{n_0},a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3}......)$$
滿足該序列的第$k(k>0)$項$a_{n_k}$是$\frac{1}{k}?$接近于$L$的；
現設$\epsilon >0$是任意實數，只要$k^{\prime }?\frac{1}{\epsilon }$，就有$a_{n_{k^{\prime }}}$是$\epsilon ?$接近于$L$的。因此子序列
$$(b_k{)}_{k=0}^{\infty }=(a_{n_k}{)}_{k=0}^{\infty }$$
收斂到實數$L$。

再證明$b\to a$：
設$(a_{n_k}{)}_{k=0}^{\infty }$是收斂到$L$的子序列。
那么對于任意的$\epsilon >0$，存在$M?0$，使得當$n_k?M$時$a_{n_k}$是$\epsilon ?$接近于$L$的。
對于每個$N?0$，令$m=max(M,N)$，則存在$n^{\prime }=n_{k^{\prime }}?m$，使得$a_{n^{\prime }}=a_{n_{k^{\prime }}}$是$\epsilon ?$接近于$L$的，因此序列$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$是持續$\epsilon ?$附著于$L$的，也就證明了$L$是$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$的極限點。

總結

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