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在上一個講對稱與魔術的系列《對稱與魔術初步（六）——魔術《4選1的詛咒》等》中，是繼承了再早的一個系列《循環、遞歸與魔術（五）——再談遞歸的魔術邏輯與欣賞》而來。后者更多強調的是時序結構上魔術流程的結構規律，能夠讓觀眾深深吸引；而前者則是一種靜謐之美，用對稱這等要素去呈現一番美的結局。

這個系列我們繼續講對稱，而且要真正透過現象看不止，去揭開對稱背后真正的數學結構的秘密。

面對更復雜的對稱性

當時我們聊到對稱的本質是不變性，是指某特性不隨數學轉換而變化，自然其范疇也不止幾何圖形的表面而已。哪怕就是幾何圖形本身，當變得像足球烯，晶胞這等足夠復雜時，似乎之前那點知識也難以說清楚這其內在的結構，需要引入新的數學工具去描述和解決了。

比如，我好像覺得有點數不清魔方到底有多少種對稱的擰法；這個足球烯和甲烷，甚至有些更復雜的結構，我也數不清，理不清他們的關系了。不過至少，可以把這些所有的針對同一個對象的對稱操作合在一起構成一個集合，而且看起來，這個集合還因為每個元素都是同一個對象的對稱操作而有著特殊的運算聯系。并產生了一些問題：

比如，拿著魔方頂部一層連續順時針擰90度4次，不僅恢復原狀，而且是真的按照原來的每個塊的編號各就各位的，這種性質怎么描述？

都是朝左和上各擰一次，先擰后擰到底有沒有區別？

足球烯和甲烷，嵌在一個固定的模型里，每個頂點或面都有不同顏色區分地話，到底有多少種擺放方法？

而且，我還隱隱約約覺得，這種有著遠超一種操作的對稱圖形或幾何體，比如正二十面體，截半立方體等等，其給人美感的程度也遠遠超過一般的等腰三角形，長方形，正方形之流，那這種有一堆對稱性的對象，我們該用怎樣的數學結構來描述和解決呢？

好了，問題已經出現了，單單靠集合的知識已經超出處理范圍了，面對復雜多重出現的對稱，現有的數學工具已經說不清，道不明了。

數學家們應聲出現，來用深邃的數學抽象思維，把這個問題安排得明明白白，透透徹徹。

對稱性的群論描述探索之排列

沒錯，這就是群論。

群論的發現始于對稱，但借助數學的抽象力量，它又不止于對稱，并把世界上看似無關的對象用統一的數學模型來描述了，是數學抽象世界本質的又一典型絕佳的案例。

我嘗試以我淺薄的理解來說明，從對稱性描述，是怎么一步步導出教科書上關于群論的定義里那一大堆摸不著頭腦卻又那么自洽的公理的。并且我想說的是，數學雖然是形式科學，但是從來不是憑空捏造，毫無事實依據的，只是有時候實在抽象得太深遂，太本質，也懶得和不愛思考的大眾說明白罷了。

我們首先來用集合語言定義一下圖案和幾何圖形好了。一幅畫，或任意圖案，都可以看成是一個二階張量，或言之，給定精度下就是一個定維矩陣的數據Pmn。表示出來是一個數表，本質結構則是(i, j)的二元組，i, j取[1, n]的整數，到各自位置坐標對應的像素值的映射，那也就是個大小為mn的二元組和像素值空間組成的二元組((i, j), p)的集合了。元組前項是個離散值，可編號為1：mn，后項雖然某些像素值可能相同無法分辨（后面我們會知道，正是這個無法分辨性，構成了性質相同的基礎），我們帶上其位置信息自然也是不同的元素，相當于假設每個像素值都不同，也可以編號為p1:mn。

于是這幅畫就被解構建模成了一個奇怪的樣子，即1：mn到p1：mn兩個集合之間的雙射，而且滿足f(x)?= px。為什么要這么玩呢？我們不妨繼續想象。假設每個像素點是一塊拼圖，帶有其編號對應的特殊顏色，都不相同需要分辨，那這副拼圖的拼法就是mn！種，每一種都是拼圖結果集合中的一員，就這個性質而言，是不是只要你不丟失替換一塊，就一定成立了？這不就是對稱性的意思嗎？一個拼圖不管你怎么拼，都是拼圖集合中的一員。也完全可以編碼成一個特殊排列。

但是那些拼成亂七八糟樣子的結果說是都在集合中，實在沒什么現實含義，我們不妨來看一種真的看起來相同的對稱性質，即肉眼可見的圖形呈現出來的不變性。我們并不要求排列要一模一樣才對稱不變，只需要每個編號對應的顏色呈現f(i)函數不變即可，這樣，同一個呈現應該就會有很多排列p(mn)滿足條件，這些排列一起構成一個集合。

舉個例子，假設整個拼圖上只有A個像素點的值無法區分，若要兩幅圖完全相同，則其余元素應當各處其位，這A個像素點可以以任意排列拼上，呈現出來的樣子都完全相同，于是這A!種方法的拼法對應的這么多種排列構成一個對稱的集合，即從一個初始的參考拼法e開始，其經過一輪變換變成一共A!種的排列，它們呈現出來的樣子是一模一樣的！

嗯，這種一摸一樣，就和我們看到的所謂的圖形的對稱性比較接近了，我們給每個初始位置的像素點值進行編號是為了研究時候的區分。就像在正n邊行對稱研究的時候總是涂上不同顏色表示不同元素，此時這個圖形就不再具有帶顏色的對稱不變性了，而是忽略顏色的原來那個樣子才有對稱性了。

不過這里離我們描述對稱的數學工具還差一步，操作。什么意思呢？

剛才說了，拼圖的全集和p(mn)集合一一對應，而實際上排列本身又被建模為一個自身到自身的雙射，脫離自變量本身而成為一種集合對象。于是這也等價于一種操作，即，全部打亂，并依次按照排列p(mn)k的值，把編號為p(mn)k的拼片放在編號為mn的位置上，共mn次，完成整個拼圖。數學上的話，可以略去這依次的過程，看作是一種瞬間的變換，并用這個自身雙射來描述。

于是你會發現，這個映射不僅對1：mn的原排列管用，對已經是p(mn)的排列還可以復合上去，變成一個f1(f2(x))，而且仍然保持是一個雙射，這個復合過程我們叫做操作。可以看到，如果共用起點元素，操作和呈現的元素本身是一一對應的。

這整個的拼圖全部的排列如果都可以遍歷到，這個對應的群后面就知道，叫做排列群了，但是，不是所有的幾何變換都如像素級別的全部隨意操作這么自由。對，是幾何變換，即我們并不太接受把一幅圖像拼圖一樣全拆了再隨意拼回去保持看起來不變的這種變換是一個對稱的幾何變換，雖然是個對稱變換，符合對稱定義，但是不幾何。

對稱性的群論描述探索之幾何變換

我們接著來看一個抽象的幾何對象，正六邊形。我們知道，多邊形這個幾何對象可以用點的排列來定義，表示這些點依次首尾相連的線段（也可以看作點的二元組）的并集。一般的圖案，其上的一些操作，如旋轉，平移，對折等物理上存在的操作，都只有在圖案有某種特殊性時候才存在，否則得是可以如上拼圖對應為任意特定排列操作的對象就總能看起來不變了。

顯然我們研究的其實就是這些不同類幾何變換操作的看起來得不動點圖案，并視之為對稱圖形。

回到正六邊形，顯然我們以其中心旋轉60度的操作，是對稱不變的。這是現象，而本質上，我們只需要關心這六個頂點的排列，這等價于一個r = (1 2 3 4 5 6)的輪換表示的排列，可以反復作用于原來初始的e = (1, 2, 3, 4, 5, 6)的原始排列上，以形成新的元素。包括原始一共有6個排列，分別是從1~6開頭，并依次循環遞增取模下去的6元排列。注意，6次以后，這個排列回到自身，完完全全的原排列，這在幾何上是旋轉的性質，抽象出來就是這個操作有f ^ 6(x) = x的性質，不動點說就是六邊形是繞中心旋轉60度這個操作的6周期集合點。

另外，其明顯還有一個軸對稱性，會對應映射f = (6, 5, 4, 3, 2, 1) = (1 6) (2 5) (3 4)。這是個二階操作，二次恢復原狀；再經過旋轉60度，又是6個元素；還滿足frfr(x) = x。這完全是幾何操作的抽象數學描述，看起來已經不是表面的樣子了，卻是這一幾何變換的本質屬性特征。

我們還發現，不管怎么操作，一共也逃離不了一共12個元素的全集，它們都用排列表示，且都可以表示成f和r兩個基本操作對初始e排列的操作。

那這樣一個結構到底該用怎樣的數學結構來描述呢？

我們下回見分曉！

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MatheMagician，中文“數學魔術師”，原指用數學設計魔術的魔術師和數學家。既取其用數學來變魔術的本義，也取像魔術一樣玩數學的意思。文章內容涵蓋互聯網，計算機，統計，算法，NLP等前沿的數學及應用領域；也包括魔術思想，流程鑒賞等魔術內容；以及結合二者的數學魔術分享，還有一些思辨性的談天說地的隨筆。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思維，享受人生樂趣。歡迎掃碼關注和在文末或公眾號留言與我交流！

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的对称、群论与魔术（一）——对称性本质探索的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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