分步求解 :

① 使用 第二類 Stirling 求其不同的劃分個數(shù) :
$S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)$

② 根據(jù)公式 : $S(n,1)=1$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(4,1)=1$

③ 根據(jù)公式 : $S(n,2)=2^{n?1}?1$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(4,2)=2^{4?1}?1=2^3?1=7$

④ 根據(jù)公式1 : $S(n,n?1)=C(n,2)$ ( Stirling 數(shù)計算公式 ) , 根據(jù)公式2 : $C(n,r)=\frac{n!}{(n?r)!r!}$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(4,2)=C(4,2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{(4?2)!2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 2}=6$

⑤ 根據(jù)公式 : $S(n,n)=1$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(4,4)=1$

⑥ 最終劃分結果 : $A$ 上有 15 個劃分 ;
$S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=1+7+6+1=15$

6元集等價關系計算

題目 :

• 條件 : $A=\{1,2,3,4,5,6\}$
• 問題 : 計算$A$上的 二元關系 的 個數(shù) 和 $A$ 上等價關系的個數(shù) ;

解答 :

二元關系個數(shù) :

• 1> 集合元素個數(shù) : 集合 $A$ 中有 $6$ 個元素 , $|A|=6$ ;
• 2> 有序?qū)€數(shù) : $|A|\times |A|=6\times 6=36$ ;
• 3> 二元關系個數(shù) :
  • ① 推演過程 : 二元關系 包含 $0$ 到 $36$ 不等的有序?qū)?, 那么需要考慮以上所有情況 , 分別統(tǒng)計 有 $0$ 個有序?qū)?, $1$ 個有序?qū)?, $2$ 個有序?qū)?, $?$ ,$36$ 個有序?qū)Φ?情況 ;
  • ② 計算公式 :$C(36,0)+C(36,1)+C(36,2)+?+C(36,36)=2^{36}$

等價關系個數(shù) :

• 1> 一一對應 : 等價關系的個數(shù) 與 集合的劃分數(shù) 是一一對應的 ,
• 2> 進行劃分 : 將 集合 $A$ 劃分成 $1$ 塊 , $2$ 塊, $3$ 塊, $4$ 塊, $5$ 塊, $6$ 塊 ;
• 3>寫出對應式子 : 集合的劃分數(shù)為 $S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)$

逐個求出 $S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)$ 每個 Stirling 數(shù)的值 ;

① 根據(jù)公式 : $S(n,1)=1$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(6,1)=1$

② 根據(jù)公式 : $S(n,2)=2^{n?1}?1$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(6,2)=2^{6?1}?1=2^5?1=32?1=31$

③ 根據(jù)遞推公式 : $S(n,r)=rS(n?1,r)+S(n?1,r?1)$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)$

拆分成下面兩部 進行計算 :

( 1 ) 先計算 $S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)$

• 1> 其中 使用公式 $S(n,n?1)=C(n,2)$ 計算 $S(4,3)$ :
  • $S(4,3)=C(4,2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{(4?2)!\times 2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 2}=6$
• 2> 使用公式 $S(n,2)=2^{n?1}?1$ 計算 $S(4,2)$ :
  • $S(4,2)=2^{4?1}?1=7$
• 3> $S(5,3)$ 結果 : $S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)=3\times 6+7=25$

( 2 ) 在計算 $S(5,2)$ 的結果 , 使用公式 $S(n,2)=2^{n?1}?1$ 進行計算 :
$S(5,2)=2^{5?1}?1=15$

( 3 ) 最終結果 : $S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)=3\times 25+15=90$

④ 根據(jù)遞推公式 : $S(n,r)=rS(n?1,r)+S(n?1,r?1)$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 :
$S(6,4)=4S(5,4)+S(5,3)=4\times C(5,2)+25=4\times \frac{5!}{3!\times 2!}+25=4\times \frac{5\times 4\times 3\times 2}{3\times 2\times 2}+25=65$

⑤ 根據(jù)公式 : $S(n,n?1)=C(n,2)$ , 計算 $S(6,5)$ :
$S(6,5)=C(6,2)=\frac{6!}{(6?2)!\times 2!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2}{4\times 3\times 2\times 2}=15$

⑥ 根據(jù)公式 : $S(n,n)=1$ , 計算 $S(6,6)$ ;
$S(6,6)=1$

⑦ 將上面計算的 $6$ 個斯特林數(shù)相加 , 得到的結果 :
$S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)=1+31+90+65+15+1=203$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】等价关系个数计算问题 ( 有序对个数计算 | 二元关系个数计算 | 划分 | 等价关系 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。