最優陣列處理技術/Harry L. Van Trees——學習筆記2

一.基礎環節

1.2 陣列的基本變量

不同方向的來波信號記為$x_{{\Omega }_m}(t)$，${\Omega }_m$代表方向$({\theta }_m,{?}_m)$，這里未對信號進行寬帶和窄帶的限制，某個陣元位置記為${\text{p}}_n=(x_n,y_n,z_n)$。同時，注意這些只是離散表示，去掉角標則為連續表示。
介紹三個維度的標準變量之前，提前表明：$(a,b,c)$代表行向量，$[a,b,c]$代表列向量，但是一般默認采用列向量表示，而且$(a,b,c{)}^T$與$[a,b,c]$意思一致。

坐標系某點的方向：$\text{u}=(sin\theta cos?,sin\theta sin?,cos?{)}^T$。

來波信號方向：$\text{a}=?\text{u}=(?sin\theta cos?,?sin\theta sin?,?cos?{)}^T$。

陣元坐標：$\text{p}=(x,y,z{)}^T$。
圖中，聲源位置和陣元位置均隨機放置。

對于陣元的接收信號可以表示為：
$r_n(t)={\sum }_{\Omega }{x}_{\Omega }(t?{\tau }_n(\Omega ))$
${\tau }_n(\Omega )={\text{a}}^T{\text{p}}_n/c$
其中，${\tau }_n(\Omega )$代表$\Omega$方向的來波信號在${\text{p}}_n$處的時延。注意，這里依舊未涉及到窄帶近似。采用矩陣形式書寫：
$\text{r}(t)=(r_1(t),...,r_N(t){)}^T={\sum }_{\Omega }[x_{\Omega }(t?{\tau }_1(\Omega )),...,x_{\Omega }(t?{\tau }_N(\Omega ))]$
其傅里葉變換為:
$\text{R}(\omega )=(R_1(\omega ),...,R_N(\omega ){)}^T={\sum }_{\Omega }[X_{\Omega }(\omega )e^{?i\omega {\tau }_1(\Omega )},...,X_{\Omega }(\omega )e^{?i\omega {\tau }_N(\Omega )}]={\sum }_{\Omega }{X}_{\Omega }(\omega )[e^{?i\omega {\tau }_1(\Omega )},...,e^{?i\omega {\tau }_N(\Omega )}]={\sum }_{\Omega }{X}_{\Omega }(\omega )\text{v}(\omega ,\Omega )$
寫到這里，陣列流形矢量已經呼之欲出：
$\text{v}(\omega ,\text{k}(\Omega ))=\text{v}(\omega ,\Omega )$
其中，$\text{k}(\Omega ))$就是波數，$e^{?i\omega {\tau }_n(\Omega )}=e^{?i\omega {\tau }_N(\Omega )}=e^{?i\omega {\text{a}}^T{\text{p}}_n/c}=e^{?i{\text{k}}^T{\text{p}}_n}$包含頻率和方向信息，是不是很類似傅里葉變換的基函數$e^{?i\omega t}$中的$\omega$和$t$。換句話進行類比，傅里葉變換的$(\omega ,t)$與式中的$(\text{k},{\text{p}}_n)$很相似。將在下一更中進一步展示。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最优阵列处理技术/Harry L. Van Trees——学习笔记2的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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