繼上一篇分析了控制系統的數學模型，那么拿到了數學模型，通常怎樣進行分析？本文以及后續兩章將分別講述經典控制理論中的三種分析、 研究和設計控制系統的方法。

這篇文章本質上都是時域分析的內容，知道什么是時域分析，怎樣時域分析，分析的內容有哪些

一：什么是時域分析法？

直接解出時間響應曲線：時域分析法是根據系統的微分方程， 以拉普拉斯變換作為數學工具， 直接解出控制系統的時間響應。 然后， 依據響應的表達式以及其時間響應曲線來分析系統的控制性能， 諸如穩定性、 快速性、平穩性、 準確性等， 并找出系統結構、 參數與這些性能之間的關系。

1.什么是典型初始狀態:

規定控制系統的初始狀態均為零狀態，即在t=0-時

說明在外作用添加進系統前，系統是相對靜止的，被控量以及各階導數增量為0.

2.什么是典型外作用：

典型外作用是眾多而復雜的實際外作用的一種近似和抽象。 它的選擇不僅應使數學運算簡單， 而且還應便于用實驗來驗證。比如單位階躍、單位斜坡、單位脈沖、正弦。

3.什么是時間響應：

初始狀態為零的系統， 在典型外作用下的輸出， 稱為典型時間響應。 從數學角度來理解， 典型時間響應就是描述控制系統的微分方程在典型外作用下的零初始條件解。

4.有哪些性能指標：

控制系統的時間響應， 從時間順序上， 可以劃分為過渡過程和穩態過程。通常對階躍響應的研究比較多，一般認為， 跟蹤和復現階躍作用對系統來說是較為嚴格的工作條件，跟蹤階躍信號能夠體現出系統工作的性能優劣。

包括延遲時間、上升時間、峰值時間、超調量、調節時間、穩態誤差，后三項反映了系統的平穩性、快速性、穩態精度。具體公式可參考書中內容。

二：怎樣進行時域分析

這里對常見的低階系統單位階躍響應進行了分析，能夠看到具體的分析流程與方法。

1.一階系統：

假設一個一般性的一階系統傳遞函數模型為：

一階系統中只有一個參數T（時間常數）也稱為慣性環節，所以我們研究改變T會如何影響系統的輸出c（t）。

解出時間響應

所以得到了輸出與參數T的關系，那么我們就可以分析出不同T對輸出的影響，利用實驗繪圖得到階躍響應曲線。實驗結論就是：一階系統的階躍響應沒有超調量， 所以其性能指標主要是調節時間ts。

由于t=3T時，輸出響應可達穩態值的95% ，t=4T時， 輸出響應可達穩態值的 98%。而且是沒有穩態誤差的。

2.二階系統：

二階系統很具有代表性，研究對二階系統的分析方法十分重要。實際系統中有許多都是二階系統， 例如RLC網絡，具有質量的物體的運動，忽略電樞電感后的電動機。 尤其值得注意的是，許多高階系統，在一定的條件下，常常作為二階系統來研究（降階）。所以，詳細討論和分析二階系統的特性， 有著十分重要的實際意義。

二階系統的模型

根據實際系統所求的傳遞函數模型滿足3-17這個形式，可以看到主要有兩個參數在起作用。我們要根據微分方程直接求解出時間響應的解，以階躍響應為例。講述之前這里插一條

# 特征根和系統的性能有什么關系？為什么要分析特征方程?

系統極點就是特征方程的根。而微分方程的時域解其實就是由特征根構成的形式。

1。從傳遞函數是怎么得到時域解的? =>直接進行拉氏反變換

2。那么為什么要先得到傳遞函數再求解？=>先到頻域后到時域

實際上是因為我們做了兩步變換：先將微分方程轉化為頻域上的傳遞函數，推倒出系統輸出c（s）的頻域表達式，再通過拉氏反變換把頻域變換到時域c（t）上，變換完就是系統微分方程在時域上的輸出解。

本質上就是先轉換到在頻域解方程，再換到時域得到解。這其實就是上述解微分方程的一種具體解法。

所以下面我們來看看微分方程是怎么解的：根據微分方程計算出傳遞函數這一步就是在做拉氏變換，具體過程就是數學問題了。這是二階的傳遞函數，注意它的分母（特征方程）

我們要的是輸出的表達式，所以就寫出C（s）的表達式

然后這就是輸出了，目的是什么？得到輸出的時域解，那就對他再進行拉氏反變換。怎么反變換？這里就和特征方程有關了。要做拉氏反變換，我們就要根據反變換的公式，換成基本形式相加，這就需要對這個式子進行裂項。裂項需要進行因式分解，那這個過程是不是就要求出特征方程的根了？問題解決。

換成基本形式相加

二階系統的輸出表達式

那么二階系統的特征方程:

得到二階系統的解的一般形式

所以，特征根會影響系統的階躍時間響應函數，因為它存在于指數項里。特征根中有兩個關鍵參數ξ和ωn ，所以這兩個參數會影響特征根的形式，所以這兩個參數最終將影響系統性能。

具體是怎么影響的?

• 當阻尼比ξ>1時， 二階系統的閉環特征方程有兩個不相等的負實根，為過阻尼二階系統。過阻尼二階系統可以看成兩個時間常數不同的慣性環節串聯，因此是沒有穩態誤差的。
• 當阻尼比0<ξ<1時， 稱為欠阻尼二階系統，閉環特征方程具有一對實部為負的共軛復特征根， 時間響應呈衰減振蕩特性， 故又稱為振蕩環節，參考性能指標部分的圖3-3。

具體表達式不再列寫了，可參考書上內容。這里我們知道這兩個參數與性能之間有著怎樣的關系就可以了。

如何改善一、二階系統響應措施？：

一階系統實際上只有一個結構參數T，比如想提高快速性就減小T。而二階系統復雜一些，主要是阻尼比，想改變阻尼比一般是輸出的速度反饋或者是串聯一個比例微分。關于微分要重點說一下，為什么微分能夠提高系統阻尼比呢?它能夠在實際超調量出現之前就能產生修正作用。

比例微分控制使系統的等效阻尼增大，和速度反饋控制是同樣的效果，但是這又屬于兩種不同的校正方法，一個是串聯校正，后者則是反饋校正，校正后的傳遞函數也不同，串聯校正結構簡單，但是沒有反饋控制抗干擾能力差，速度反饋本手就可以抑制干擾與非線性因素，但是會降低開環增益，而且需要引入測量裝置增大了成本。但反饋的存在大大削弱了非線性因素，并且主要性能是由反饋回路的傳函決定，能抑制輸入干擾，得到廣泛應用。

再從根軌跡角度分析，串聯一個比例微分環節相當于給開環傳函加了一個零點，也使得閉環系統多了一個零點，這樣直接改變了系統的根軌跡，影響性能較多。而速度反饋并沒有給閉環系統引入新的零點。

三：時域分析的內容？

括延遲時間、上升時間、峰值時間、超調量、調節時間、穩態誤差，后三項反映了系統的平穩性、快速性、穩態精度。這里重點講一下穩

1.穩定性：

關于穩定性之前有專門寫過一篇總結，但并不深入。

小學徒：動態系統的穩定性分析?zhuanlan.zhihu.com

這本書里詳細講的是經典控制理論中的穩定性方法，在傳遞函數基礎上詳細討論了特征根與穩定性之間的關系。其原理仍然是解出時域解進行分析，得到的結論是：系統的穩定性僅取決于特征根的性質。 并可得出，穩定的充分必要條件為系統特征方程的所有根都具有負實部，或者說都位于s平面的虛軸之左。

根據上面所說的，我們只要通過解系統的特征根就能知道穩定性，那么如果是高階系統并且難以解出特征根怎么辦？如果能夠不解特征方程也能知道根是否位于左半平面，就可以更方便了。這才有了從特征根的性質衍生出來的一些穩定性判據，包括Hurwitz、勞斯判據等。

Hurwitz：系統穩定的充要條件為特征方程的赫爾維茨行列式全部為正。但是計算行列式仍然比較麻煩。

林納德奇帕特判據:這是對hurwitz的推廣，減少行列式計算的工作量。1）特征方程的各項系數都大于零 這是系統穩定的必要條件，如果不滿足 肯定不穩定。但是滿足了不一定穩定。 2）奇數階或偶數階的赫爾維茨行列式大于0，只有同時滿足這兩個條件才能判定穩定。

#這種方法不僅可以判別系統的穩定性，還可以決定增益K的范圍，這就是為什么我增益過大可能導致系統不穩定的原因，因為K會影響系統的特征根（PID中比例環節過大會發散）

勞斯判據：雖然上面的方法簡化了計算，但是我還是避免不了算行列式，如果是更復雜的系統特征方程，怎么辦?可不可以不算行列式也能知道特征根的特性？可以，勞斯判據只需要你畫一張勞斯表。這是一種根據特征方程來判斷系統極點的位置的方法，從而避免了求解特征根，簡化了計算。勞斯判據不僅可以判斷穩定性，還能判定有幾個正實部根。

總結:這幾個判據可以判斷系統的穩定性并且能夠確定增益的范圍，但是不能判斷系統的穩定程度。如果系統的一個負實部根離虛軸很近，那也是滿足穩定性判據的，這種情況在實際系統中仍然可能是不穩定的，而我也確實遇到過這種問題。系統極點的確在左半平面，但是離虛軸很近。按道理也是穩定。然而仿真結果卻發散了，這是因為完全理想的系統是不存在的。我也查了一些實際情況中可能會影響穩定性因素，最典型的就是：延遲。這個東西非常的可怕，它甚至會直接改變系統根軌跡的走向引向右半平面。所以這也是我們要求有一定的穩定裕度的原因，光穩定不夠，還要留出裕度，這樣才會有更強的魯棒性。

那么勞斯判據怎么保證系統有一定的穩定裕度？可以用s1=s+a代替s重新計算，這樣解出來的K是符合條件的。但是有的系統你不管怎么調K，它都不穩定。這種稱為結構不穩定系統，這種情況我們就需要改變系統的結構來解決了。比如積分環節過多，它會直接給系統帶來虛軸上的極點。改變系統結構的一般方法是通過增加特定的環節與校正前傳函進行比較，看看有哪些變化，是阻尼大了？還是添加了新的零極點？最常見的改變結構的方法就是反饋。狀態反饋能夠任意配置極點也是這個道理，根據這種方法得到的一些經驗有：引入PD控制，速度反饋等，如果積分環節過多，我們就想辦法破壞，比如反饋一個比例環節變成慣性環節，但是破壞了積分環節的同時卻帶來了其他的影響比如穩態精度下降等，這就是校正問題之間的矛盾，后面介紹。

2. 穩態誤差

控制系統中的穩態誤差， 是系統控制精度的一種度量。 系統的穩態誤差與系統本身的結構、 參數以及外作用的形式密切相關。穩定系統誤差的終值稱為穩態誤差

穩態誤差

至于書上為什么會引出中值定理，是因為用拉普拉斯變換的終值定理計算穩態誤差比求解系統的誤差響應e（t）要簡單得多。中值定理等具體的理論公式就不細講了可參考書上內容。

這篇文章本質上都是時域分析的內容，要知道什么是時域分析，怎樣時域分析，分析的內容有哪些

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一阶电路误差分析_自动控制（3）时域分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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