文章目錄

• 第一章 緒論
• • 第一節 研究誤差的意義
  • 第二節 誤差的基本概念
  • • 一、誤差定義和表示
    • 二、誤差的來源
    • 三、誤差的分類
  • 第三節 精度
  • 第四節 數據運算規則

第一章 緒論

第一節 研究誤差的意義

研究誤差的意義為
（1）正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以消除或減小誤差。
（2）正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到更接近于真實的數據。
（3）正確組織實驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟條件下得到理想的結果。

第二節 誤差的基本概念

一、誤差定義和表示

（一）絕對誤差$(\Delta )$
　　某量值的測量值和真值之差為絕對誤差，通常簡稱為誤差，即
　　$$\Delta =L?L_0$$
　　真值是指在觀測一個量時，該量本身所具有的真實大小，一般是未知的。某些特定的情況下，真值又是可知的。例如：三角形的內角和為180°（理論真值）；國際千克基準1kg（約定真值）。為滿足使用上的需要，一般把高一等級精度的標準所測得的量值作為真值。
（二）相對誤差$(\delta )$
　　絕對誤差與被測量的真值之比稱為相對誤差。因為測得值與真值接近，所以也可近似用絕對誤差與測得值之比值作為相對誤差，即
　　$$\delta =\frac{\Delta }{L_0}\approx \frac{\Delta }{L}$$　
　　相對誤差用百分數表示。
　　對于相同的被測量，絕對誤差可以評定其測量精度的高低，但是對于不同的被測量以及不同的物理量，用絕對誤差比較沒有意義，需要采用相對誤差來評定。
　　【例1-1】在測量某一長度時,讀數值為$2.31m$,其最大絕對誤差為$20\mu m$,試求其最大相對誤差。
　　解：${\delta }_{max}=\frac{{\Delta }_{max}}{L}\times 100\%=\frac{20\mu m}{2.31m}\times 100\%=8.66\times 10^{?4}\%$
　　【例1-2】用兩種方法分別測量$L_1=50mm$,$L_2=80mm$。測得值各為$50.004mm$,$80.006mm$。試評定兩種方法測量精度的高低。
　　解：題中的兩種被測量不同，應使用相對誤差評定
　　　　${\delta }_1=\frac{50.004?50}{50}\times 100％=0.008％$
　　　　${\delta }_2=\frac{80.006?80}{80}\times 100％=0.0075％$
　　　　${\delta }_1>{\delta }_2$，所以方法二測量精度高。
　　【例1-3】測得某三角塊的三個角度之和為180°00’02”,試求測量的絕對誤差和相對誤差。
　　解：$\Delta =180°00^{\prime }02″?180°=2″$
　　　　$\delta =\frac{2″}{180°}=\frac{2″}{648000″}=0.00000308641\approx 0.00031\%$
　　【例1-4】多級彈導火箭的射程為$10000km$時,其射擊偏離預定點不超過$0.1km$,優秀射手能在距離$50m$遠處準確地射中直徑為$2cm$的靶心,試評述哪一個射擊精度高?
　　解：使用相對誤差評定
　　　　${\delta }_1=\frac{0.1}{10000}\times 100％=0.001％$
　　　　${\delta }_2=\frac{0.01}{50}\times 100％=0.002％$（注意題中為直徑）
　　　　${\delta }_1<{\delta }_2$，所以多級火箭的射擊精度高。
　　【例1-5】若用兩種測量方法測量某零件的長度$L{-}_1=110mm$,其測量誤差分別為$\pm 11\mu m$和$\pm 9\mu m$;而用第三種測量方法測量另一零件的長度$L_2=150mm$，其測量誤差為$\pm 12\mu m$,試比較三種測量方法精度的高低。
　　解：使用相對誤差判定
　　　　${\delta }_1=\pm \frac{11\mu m}{110mm}\times 100％=\pm 0.01％$
　　　　${\delta }_2=\pm \frac{9\mu m}{110mm}\times 100％=\pm 0.0082％$
　　　　${\delta }_3=\pm \frac{12\mu m}{150mm}\times 100％=\pm 0.008％$
　　　　${\delta }_3<{\delta }_2<{\delta }_1$，所以方法三測量精度最高。
(三）引用誤差$(\gamma )$
　　引用誤差是儀器儀表示值得相對誤差，它是以儀器儀表某一刻度點得示值誤差為分子，以測量范圍上限值或全量程為分母，所得得比值稱為引用誤差，即
　　$$\gamma =\frac{\Delta }{L_{max}?L_{min}}$$　　
　　在儀器得全量程范圍內有多個刻度點，每個刻度都有相應得引用誤差，其中絕對值最大得引用誤差稱為儀器得最大引用誤差。
　　【例1-6】檢定$2.5$級(即引用誤差為$2.5$)的全量程為$100V$的電壓表,發現$50V$刻度點的示值誤差$2V$為最大誤差,問該電壓表是否合格?
　　解：${\gamma }_{max}=\frac{{\Delta }_{max}}{L_{max}?L_{min}}\times 100\%=\frac{2}{100}\times 100\%=2\%<2.5\%$
　　　　該電壓表合格。

二、誤差的來源

誤差產生的原因有四種：測量裝置誤、差環境誤差、方法誤差、人員誤差。

三、誤差的分類

（一）系統誤差：按一定規律變化的誤差稱為系統誤差。
（二）隨機誤差：不可預見變化方式的誤差稱為隨機誤差。
（三）粗大誤差：出可預期值很遠的誤差稱為粗大誤差。

第三節 精度

誤差與精度相對應，誤差小則精度高，誤差大則精度低。
（1）準確度：反映測量結果中系統誤差的影響程度。
（2）精密度：反映測量結果中隨機誤差的影響程度。
（3）精確度：反映測量結果中系統誤差和隨機誤差綜合的影響程度。

分析上圖來理解三個概念
　　a)系統誤差小而隨機誤差大，即準確度高而精密度低。
　　b)系統誤差大而隨機誤差小，即準確度低而精密度高。
　　c)系統誤差小且隨機誤差小，即準確度高且精密度高，精確度高。

第四節 數據運算規則

（1）近似數加減運算時各運算數據以小數位數最少的數據位數為準，其余數據可多取一位小數，但最后結果與小數位數最少的數據小數位數相同。
（2）近似數乘除運算時規則與加減運算基本相同。
　　【例1-7】根據數據運算規則，分別計算下式結果
　　（1）$3151.0+65.8+7.326+0.4162+152.28$
　　　$\approx 3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28$
　　　$=3376.83\approx 3376.8$
　　（2）$28.13\times 0.037\times 1.473$
　　　$\approx 28.1\times 0.037\times 1.47$
　　　$=1.528359\approx 1.5$

總結

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