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• • 4 極限常數(shù)
  • • 圓周率$\pi$
    • 自然對(duì)數(shù)e
    • 歐拉常數(shù)$\gamma$

重讀微積分（一）：極限

4 極限常數(shù)

圓周率$\pi$

歷史上很早就產(chǎn)生了極限思想，而割圓術(shù)就是這種思想的絕佳體現(xiàn)。

設(shè)正N邊形邊長為$a$，則周長為$L=Na$，而其邊長與邊數(shù)的關(guān)系可以表示為

$$a=2R\sin \frac{\pi }{N}\to L=2NR\sin \frac{\pi }{N}$$

圓可以理解為邊數(shù)為無窮多的正多邊形，即

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }2nR\sin \frac{\pi }{n}=2\pi R$$

由于古人不知道圓周率，所以需要通過不斷地測(cè)量多邊形的邊長和周長來逼近，則對(duì)于正多邊形而言

$\Pi =\frac{L}{2R}=N\sin \frac{\pi }{N}$

N = c(3:100) Pi = N*sin(pi/N) plot(N,Pi,type='l',xlab='N',ylab='Pi')

由于到了后面，誤差變得越來越小，所以用對(duì)數(shù)來看一下誤差的變化

N = c(3:10000) err =log(pi-N*sin(pi/N),10) plot(N,err,type='l',xlab='N',ylab='err')

可見割到了正10000邊形，也只能得到$10^{?7}$的精度，通過計(jì)算可以得到正10000邊形算出的圓周率約為3.14159260，所以我們至今也無法知道祖沖之他老人家到底是怎么得到的。

options(digits=15) 10000*sin(pi/10000) [1] 3.14159260191267

圓周率的這種定義其實(shí)也提供了一個(gè)重要極限，即

$$\pi =\underset{n\to \infty }{\lim }N\sin \frac{\pi }{N}\to \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

自然對(duì)數(shù)e

很多人喜歡把自然對(duì)數(shù)和復(fù)利計(jì)算聯(lián)系在一起。

假設(shè)某銀行的年利率為$x$，即存入W元，一年之后本息合計(jì)$W(1+x)$；如果一年之后將本息重新存入銀行，則再過一年，本息合計(jì)為$W(1+x{)}^2$，重復(fù)操作$n$年之后，則其本息之和為$W(1+x{)}^n$。

假設(shè)這家銀行可以按月算利率，則每月利率為$\frac{x}{12}$，如果按月存取，則每年本息之和為$W(1+\frac{x}{12}{)}^{12}$。

假設(shè)這家很行可以按照任意時(shí)間算利率，若存錢時(shí)間為$\frac{1}{n}$年，則利率為$\frac{x}{n}$，相應(yīng)地一年的本息之和為$W(1+\frac{x}{n}{)}^n$。

那么問題來了，是不是隨著$n$逐漸增大，一年的收獲會(huì)越來越多呢？

為了計(jì)算方便，假設(shè)$x=1$，即正常$W$存一年，一年之后本息翻倍為2W。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)

最終這個(gè)值趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就定義為$e$，看來一年最多翻e倍，這個(gè)方法沒辦法發(fā)財(cái)了。但至少明白了一個(gè)著名的極限

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=\mathrm{2.7182818...}$$

當(dāng)然，銀行不太可能有翻倍這么爽的年利率，設(shè)為$x$的話，則有

$$e^x=(\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n{)}^x=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{nx}=\underset{m\to \infty }{\lim }(1+\frac{x}{m}{)}^m$$

很合理。

歐拉常數(shù)$\gamma$

對(duì)$e$兩側(cè)以$e$為底取對(duì)數(shù)，可得

$$1=\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln (1+\frac{1}{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln (\frac{n+1}{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)?\ln n}{\frac{1}{n}}$$

根據(jù)這個(gè)式子，我們可以猜測(cè)

$$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}?\sum _{n=1}^{\infty }[\ln (n+1)?\ln n]=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}?\ln N$$

是一個(gè)常數(shù)：

N = c(1:10000) for(i in c(1:0000)){H[i]=sum(1/N[0:i]) } plot(N,gamma,type='l',xlab='N',ylab='gamma') gamma[10000] [1] 0.577265664068198

我們猜對(duì)了，這個(gè)常數(shù)即歐拉常數(shù)。

其證明過程也不復(fù)雜

$$\begin{array}{rl}\ln N& ={\int }_1^N\frac{1}{x}\text{d}x={\int }_1^N\frac{1}{x}+\frac{1}{?x?}?\frac{1}{?x?}\text{d}x\\ & =\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}+{\int }_1^N\frac{1}{x}?\frac{1}{?x?}\text{d}x\end{array}$$

令$?\gamma ={\int }_1^N\frac{1}{x}?\frac{1}{?x?}\text{d}x$，則

$$\gamma ={\int }_1^N\frac{x??x?}{x?x?}\text{d}x<{\int }_1^N\frac{1}{?x{?}^2}\text{d}x$$

則$\gamma$收斂。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的用R语言理解圆周率、自然对数和欧拉常数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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