用“人話”解釋不精確線搜索中的Armijo-Goldstein準則及Wolfe-Powell準則

line search（一維搜索，或線搜索）是最優(yōu)化（Optimization）算法中的一個基礎(chǔ)步驟/算法。它可以分為精確的一維搜索以及不精確的一維搜索兩大類。
在本文中，我想用“人話”解釋一下不精確的一維搜索的兩大準則：Armijo-Goldstein準則 ＆ Wolfe-Powell準則。
之所以這樣說，是因為我讀到的所有最優(yōu)化的書或資料，從來沒有一個可以用初學(xué)者都能理解的方式來解釋這兩個準則，它們要么是長篇大論、把一堆數(shù)學(xué)公式丟給你去琢磨；要么是簡短省略、直接略過了解釋的步驟就一句話跨越千山萬水得出了結(jié)論。
每當(dāng)看到這些書的時候，我腦子里就一個反應(yīng)：你們就不能寫人話嗎？

我下面就嘗試用通俗的語言來描述一下這兩個準則。

【1】為什么要遵循這些準則 由于采用了不精確的一維搜索，所以，為了能讓算法收斂（即：求得極小值），人們逐漸發(fā)現(xiàn)、證明了一些規(guī)律，當(dāng)你遵循這些規(guī)律的時候，算法就很有可能收斂。因此，為了達到讓算法收斂的目的，我們就要遵循這些準則。如果你不愿意遵循這些已經(jīng)公認有效的準則，而是要按自己的準則來設(shè)計算法，那么恭喜你，如果你能證明你的做法是有效的，未來若干年后，書本里可能也會出現(xiàn)你的名字。

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【2】Armijo-Goldstein準則 此準則是在196X年的時候由Armijo和Goldstein提出的，當(dāng)然我沒有具體去搜過這倆人是誰。在有的資料里，你可能會看到“Armijo rule”（Armijo準則）的說法，可能是同一回事，不過，任何一個對此作出重要貢獻的人都是不可抹殺的，不是么？

Armijo-Goldstein準則的核心思想有兩個：①目標函數(shù)值應(yīng)該有足夠的下降；②一維搜索的步長α不應(yīng)該太小。

這兩個思想的意圖非常明顯。由于最優(yōu)化問題的目的就是尋找極小值，因此，讓目標函數(shù)函數(shù)值“下降”是我們努力的方向，所以①正是想要保證這一點。 同理，②也類似：如果一維搜索的步長α太小了，那么我們的搜索類似于在原地打轉(zhuǎn)，可能也是在浪費時間和精力。

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有了這兩個指導(dǎo)思想，我們來看看Armijo-Goldstein準則的數(shù)學(xué)表達式：

其中，0<ρ<12
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(1)為什么要規(guī)定ρ∈(0,12)這個條件？其實可以證明：如果沒有這個條件的話，將影響算法的超線性收斂性（定義看這個鏈接，第4條）。在這個速度至關(guān)重要的時代，沒有超線性收斂怎么活啊！(開個玩笑)
具體的證明過程，大家可以參考袁亞湘寫的《最優(yōu)化理論與方法》一書，我沒有仔細看，我覺得對初學(xué)者，不用去管它。
(2)第1個不等式的左邊式子的泰勒展開式為：
f(xk+αkdk)=f(xk)+αkgkTdk+o(αk)
去掉高階無窮小，剩下的部分為：f(xk)+αkgkTdk
而第一個不等式右邊與之只差一個系數(shù)ρ
我們已知了gkTdk<0（這是dk為下降方向的充要條件），并且ρ∈(0,12)，因此，1式右邊仍然是一個比f(xk)小的數(shù)，即：
f(xk)+αkρgkTdk<f(xk)
也就是說函數(shù)值是下降的（下降是最優(yōu)化的目標）。
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(3)由于ρ∈(0,12)且gkTdk<0（dk是一個下降方向的充要條件），故第2個式子右邊比第1個式子右邊要小，即：
αk(1?ρ)gkTdk<αkρgkTdk<0
如果步長α太小的話，會導(dǎo)致這個不等式接近于不成立的邊緣。因此，式2就保證了α不能太小。
(4)我還要把很多書中都用來描述Armijo-Goldstein準則的一幅圖搬出來說明一下（親自手繪）：

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橫坐標是α，縱坐標是f，表示在xk,dk均為常量、α為自變量變化的情況下，目標函數(shù)值隨之變化的情況。
之所以說xk,dk均為常量，是因為在一維搜索中，在某一個確定的點xk上，搜索方向dk確定后，我們只需要找到一個合適的步長α就可以了。
當(dāng)x為常量，α為自變量時，f(x+αd)可能是非線性函數(shù)（例如目標函數(shù)為y=x2時）。因此圖中是一條曲線。
右上角的f(xk+αdk)并不是表示一個特定點的值，而是表示這條曲線是以α為自變量、xk,dk為常量的函數(shù)圖形。
當(dāng)α=0時，函數(shù)值為f(xk)，如圖中左上方所示。水平的那條虛線是函數(shù)值為f(xk)的基線，用于與其他函數(shù)值對比。
f(xk)+αkρgkTdk那條線在f(xk)下方（前面已經(jīng)分析過了，因為gkTdk<0），f(xk)+αk(1?ρ)gkTdk又在f(xk)+αkρgkTdk的下方（前面也已經(jīng)分析過了），所以Armijo-Goldstein準則可能會把極小值點（可接受的區(qū)間）判斷在區(qū)間bc內(nèi)。顯而易見，區(qū)間bc是有可能把極小值排除在外的（極小值在區(qū)間ed內(nèi)）。
所以，為了解決這個問題，Wolfe-Powell準則應(yīng)運而生。
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【3】Wolfe-Powell準則
在某些書中，你會看到“Wolfe conditions”的說法，應(yīng)該和Wolfe-Powell準則是一回事——可憐的Powell大神又被無情地忽略了...
Wolfe-Powell準則也有兩個數(shù)學(xué)表達式，其中，第一個表達式與Armijo-Goldstein準則的第1個式子相同，第二個表達式為：

這個式子已經(jīng)不是關(guān)于函數(shù)值的了，而是關(guān)于梯度的。
此式的幾何解釋為：可接受點處的切線斜率≥初始斜率的σ倍。
上面的圖已經(jīng)標出了σgTkdk那條線（即e點處的切線），而初始點（α=0的點）處的切線是比e點處的切線要“斜”的，由于σ∈(ρ,1)，使得e點處的切線變得“不那么斜”了——不知道這種極為通俗而不夠嚴謹?shù)恼f法，是否有助于你理解。
這樣做的結(jié)果就是，我們將極小值包含在了可接受的區(qū)間內(nèi)（e點右邊的區(qū)間）。
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Wolfe-Powell準則到這里還沒有結(jié)束！在某些書中，你會看到用另一個所謂的“更強的條件”來代替(3)式，即：

這個式子和(3)式相比，就是左邊加了一個絕對值符號，右邊換了一下正負號（∵gTkdk<0，∴?σgTkdk>0）。
這樣做的結(jié)果就是：可接受的區(qū)間被限制在了[b,d]內(nèi)，如圖：

圖中紅線即為極小值被“夾擊”的生動演示。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Armijo线搜索的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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